数学 选择性必修第一册 配人教B版 3.已知O,A,B,C为空间四边形的四个顶点，M,N为OA,7.在三棱柱ABC-A1B1C,中，设AA=a,AB=b,AC=c, BC的中点，OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量 M是BC,的中点，N是B,C,的中点，则MN= M不为() 解析因为M,N分别为BC1与B,C C 的中点， 所以=号=号A 2a. 答案0 8.设e1e2为不共线的向量，AB=2e,十ke2,Ci=e1十3e2 A.Z(c+b-a) 1 B.(a+b-c) Ci=2e1-e2.若A,B,D三点共线，则k= C.Z(a+e-b) 解析由于A,B,D三点共线，AB=入AD, D.2(a+b+c) 又AD=AB+BC+CD=2e1+ke2-e1-3e2十 解析瓜=0成-0成=专(0成+元)-号成- 2e1-e2=3e1+(k-4)e2, 司+c-a).故选N 载有一- 、得k=一8. 答案A 答案一8 4.在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，若AC=xAB+ 9.在正方体ABCD-A1BCD1中，M,N,P,Q分别为 AD1,DC,AA1,CC1的中点，求证：M,N,P,Q四点 2yBC-3zC,则x十y+z等于( 共面。 A.1 B c D.3 证明如图，设D1A1=a,DC1=b, D DD=c, 解析如图，在平行六面体ABCD M,N,P,Q均为棱的中点， AB1C1D1中，AC1=AB+BC+ A CC=xAB+2yBC-3zCC,由待 M=M而+D=b D 1 定系数法可知x=1,y=2,2一 2, 1 7 ,故x十y十=6 m=Mm+a市=a+2c, 答案B M-M而，+D,C+Cà=-2a+b+2 c. 5.(多选题)下列命题是真命题的是() A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则 设M疯=M示+M亦 a,b,c共面 -a+b+c=-a++2e, B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间 的一个基底，则a,b共线 -0=-, 1 C.若a,b是两个不共线向量，而c=a十b(入，∈R,且 u≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底 2=1, A2, 4=1. D.若{a,b,c}是空间向量的一个基底，则a,b,c中至多有 一个零向量 24=2 答案AB ∴M=2M不+M亦，因此向量M夜，M,M亦共面， 6.已知a,b,c不共面，且m=3a十2b十c,n=x(a-b)十 四点M,N,P,Q共面. y(b-c)-2(c-a).若m/n,则x十y= 拓展·提高 解析，n=(x十2)a十(y一x)b-(y十2)c, 1.若a=e1十e2+3ea,b=e1+e2-2eac=e1-3e2+2es, 又m加-g+2. d=4e1+6e2十8ea,d=aa十b+e,则a,B,y的值分别 为() 一解降=一2=- 489.1 510-2 B-189=1 510-2 x十y=-4 答案一4 cs-品 n-品号 16
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 3.已知O,A,B,C 为空间四边形的四个顶点,M,N 为OA, BC 的中点,O→A=a,O→B=b,O→C=c,用a,b,c表示向量 M→N 为( ) A. 1 2 (c+b-a) B. 1 2 (a+b-c) C. 1 2 (a+c-b) D. 1 2 (a+b+c) 解析 M→N =O→N -O→M = 1 2 (O→B +O→C)- 1 2 O→A = 1 2 (b+c-a),故选 A. 答案 A 4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 AC1 →=xA→B+ 2yB→C-3zCC1 →,则x+y+z等于( ) A.1 B. 7 6 C. 5 6 D. 2 3 解析 如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1 中,AC1 → =A→B+B→C+ CC1 →=xA→B+2yB→C-3zCC1 →,由待 定系数法可知x=1,y= 1 2 ,z= - 1 3 ,故x+y+z= 7 6 . 答案 B 5.(多选题)下列命题是真命题的是( ) A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则 a,b,c共面 B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间 的一个基底,则a,b共线 C.若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R,且 λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底 D.若{a,b,c}是空间向量的一个基底,则a,b,c中至多有 一个零向量 答案 AB 6.已知a,b,c 不共面,且m=3a+2b+c,n=x(a-b)+ y(b-c)-2(c-a).若m∥n,则x+y= . 解析 ∵n=(x+2)a+(y-x)b-(y+2)c, 又m∥n,∴ x+2 3 = y-x 2 =-(y+2), ∴ 5x-3y+4=0, x-3y-4=0, 解得x=-2,y=-2, ∴x+y=-4. 答案 -4 7.在三棱柱ABC-A1B1C1 中,设AA1 →=a,A→B=b,A→C=c, M 是BC1 的中点,N 是B1C1 的中点,则M→N= . 解析 因为M,N 分别为BC1 与B1C1 的中点, 所以 M→N = 1 2 BB1 → = 1 2 AA1 → = 1 2 a. 答案 1 2 a 8.设e1,e2 为不共线的向量,A→B=2e1+ke2,C→B=e1+3e2, C→D=2e1-e2.若A,B,D 三点共线,则k= . 解析 由于A,B,D 三点共线,A→B=λA→D, 又A→D =A→B+B→C+C→D =2e1 +ke2 -e1 -3e2 + 2e1-e2=3e1+(k-4)e2, 故有 2=3λ, k=λ(k-4), 得k=-8. 答案 -8 9.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分 别 为 A1D1,D1C1,AA1,CC1 的中点,求证:M,N,P,Q 四点 共面. 证明 如图,设D1A1 →=a,D1C1 →=b, D1 →D=c, ∵M,N,P,Q 均为棱的中点, ∴M→N =MD1 →+D1 →N = 1 2 b- 1 2 a, M→P=MA1 →+A1 →P= 1 2 a+ 1 2 c, M→Q=MD1 →+D1C1 →+C1 →Q=- 1 2 a+b+ 1 2 c. 设M→Q=λM→N+μM→P, 则- 1 2 a+b+ 1 2 c= 1 2 (μ-λ)a+ 1 2 λb+ 1 2μc, ∴ 1 2 (μ-λ)=- 1 2 , 1 2 λ=1, 1 2μ= 1 2 , ∴ λ=2, μ=1. ∴M→Q=2M→N+M→P,因此向量M→Q,M→N,M→P 共面, ∴四点M,N,P,Q 共面. 拓展 提高 1.若a=e1+e2+3e3,b=e1+e2-2e3,c=e1-3e2+2e3, d=4e1+6e2+8e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ 的值分别 为( ) A. 18 5 , 9 10 ,- 1 2 B.- 18 5 , 9 10 ,- 1 2 C. 18 5 ,- 9 10 ,- 1 2 D.- 18 5 ,- 9 10 , 1 2 16
第一章空间向量与立体几何 1=λx a+3十y=4, 于是有-1=Xy,解得肛=1， 9 y=-1. 解析由题意，有a十B-3y=6, 解得=1 1=λ， 3a-23+2y=8, 答案1-1 2 6.在空间四边形ABCD中，AB=a-2c,CD=5a-5b+8c, 答案A 对角线AC,BD的中点分别是E,F,则E示= 2.设a1=2m-j十k,a2=m十3j-2k,a3=-2m十j-3k, 解析如因，成-+店+酝=号+店十 a,=3m十2j十5k(其中m,j,k是两两相互垂直的单位向 量).若a:=a1十a2十aa,则实数入，4，v的值分别 励=C市+D)++2(B成+动)=市+ 是() A.1,-2,-3 B.-2,1,-3 A+2Bi-2币+2A店=2(5a-5b+8c+a C.-2,1,3 D.-1,2,3 解析由题意可知a:=2m-十k十m十3一 2c)=8a-6+8c. 2uk-2um+vj-3uk=3m+2j+5k, 2x十u-2=3, A=-2, 因此（一λ十34十u=2,解得 u=1,故选B. 1-2μ-30=5， =-3. B< 答案B 3.如图，在空间四边形ABCD中， 答案ab+ 点G为△BCD的重心，E,F,H 7.如图，在平行六面体ABCD D 分别为边CD,AD和BC的中点， A1B,CD1中，E,F分别在B1B和 D,D上，且BE=B,DF= B 则花+号庞+的化简结 果为( A.AF B.AH C.AE D.CF (1)求证：A,E,C1,F四点共面； 解析，G是△BCD的重心， (2)若E萨=xA店+AD+AA,求x十y十z的值， ∴=酝G帝=号亟 ()证明：C=店+芯+=店+市+A十 又-， =(庙+号)+(+号)=应+成)+ A心+D)=A正+A正 “G+成=心+=+萨=， A,E,C1,F四点共面 (2)解：EF=AF-A正=AD+D求-(AB+B正)= 从而G+号证+Ci=应 市+号D,-店-号那=-+市+，且 答案A 成-+市+不x=-1w=1=号 4.(多选题)若e1,e2是同一个平面a内的两个向量，则下列 结论错误的是() +y+=-11+ A.平面a内任一向量a,都有a=e1十e2au∈R) B若存在实数入1入2，使入1e1十入2e2=0,则入1=入2=0 挑战·创新 C,若e1,e2不共线，则空间任一向量a,都有a=Ae1十e2 如图，已知口ABCD,从平面AC外一点O引向量O元= (λ，4∈R) kOi,O=kOB,OG=kO元，Oi=kO币，求证： D.若e1,e2不共线，则平面a内任一向量a,都有a= O ae1十e2(λ，4∈R) 答案ABC 5.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b十c,n=xa十 b十c,若m与n共线，则x= y= 解析因为m与n共线，所以存在实数入，使m=入n, 即a-b+c=λxa+λyb+λc, 17
第一章 空间向量与立体几何 解析 由题意,有 α+β+γ=4, α+β-3γ=6, 3α-2β+2γ=8, 解得 α= 18 5 , β= 9 10 , γ=- 1 2 . 答案 A 2.设a1=2m-j+k,a2=m+3j-2k,a3=-2m+j-3k, a4=3m+2j+5k(其中m,j,k是两两相互垂直的单位向 量).若a4 =λa1 +μa2+υa3,则实数λ,μ,υ 的值分别 是( ) A.1,-2,-3 B.-2,1,-3 C.-2,1,3 D.-1,2,3 解析 由题意可知a4 =2λm -λj+λk+μm +3μj- 2μk-2υm+υj-3υk=3m+2j+5k, 因此 2λ+μ-2υ=3, -λ+3μ+υ=2, λ-2μ-3υ=5, 解得 λ=-2, μ=1, υ=-3. 故选B. 答案 B 3.如图,在空间四边形 ABCD 中, 点G 为△BCD 的重心,E,F,H 分别为边CD,AD 和BC 的中点, 则A→G+ 1 3 B→E+ 1 2 C→A 的化简结 果为( ) A.A→F B.A→H C.A→E D.C→F 解析 ∵G 是△BCD 的重心, ∴|G→E|= 1 3 |B→E|,∴G→E= 1 3 B→E. 又E→F= 1 2 C→A, ∴A→G+ 1 3 B→E=A→G+G→E=A→E,A→E+E→F=A→F, 从而A→G+ 1 3 B→E+ 1 2 C→A=A→F. 答案 A 4.(多选题)若e1,e2 是同一个平面α内的两个向量,则下列 结论错误的是( ) A.平面α内任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) B.若存在实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 C.若e1,e2 不共线,则空间任一向量a,都有a=λe1+μe2 (λ,μ∈R) D.若e1,e2 不共线,则平面α 内任一向量a,都有a= λe1+μe2(λ,μ∈R) 答案 ABC 5.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+ yb+c,若m 与n共线,则x= ,y= . 解析 因为m 与n共线,所以存在实数λ,使m=λn, 即a-b+c=λxa+λyb+λc, 于是有 1=λx, -1=λy, 1=λ, 解得 x=1, y=-1. 答案 1 -1 6.在空间四边形ABCD 中,A→B=a-2c,C→D=5a-5b+8c, 对角线AC,BD 的中点分别是E,F,则E→F= . 解析 如 图,E→F =E→A +A→B +B→F = 1 2 C→A +A→B + 1 2 B→D= 1 2 (C→D+D→A)+A→B+ 1 2 (B→A+A→D)= 1 2 C→D+ A→B+ 1 2 B→A= 1 2 C→D+ 1 2 A→B= 1 2 (5a-5b+8c+a- 2c)=3a- 5 2 b+3c. 答案 3a- 5 2 b+3c 7.如 图,在 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别在B1B 和 D1D 上,且 BE= 1 3 BB1,DF = 2 3 DD1. (1)求证:A,E,C1,F 四点共面; (2)若E→F=xA→B+yA→D+zAA1 →,求x+y+z的值. (1)证明 ∵AC1 →=A→B+A→D+AA1 →=A→B+A→D+ 1 3 AA1 →+ 2 3 AA1 →= A→B+ 1 3 AA1 → + A→D+ 2 3 AA1 → =(A→B+B→E)+ (A→D+D→F)=A→E+A→F, ∴A,E,C1,F 四点共面. (2)解 ∵E→F=A→F-A→E=A→D+D→F-(A→B+B→E)= A→D+ 2 3 DD1 →-A→B- 1 3 BB1 →=-A→B+A→D+ 1 3 AA1 →,且 E→F=xA→B+yA→D+zAA1 →,∴x=-1,y=1,z= 1 3 . ∴x+y+z=-1+1+ 1 3 = 1 3 . 挑战 创新 如图,已知▱ABCD,从平面AC 外一点O 引向量O→E= kO→A,O→F=kO→B,O→G=kO→C,O→H=kO→D,求证: 17
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 (1)E,F,G,H四点共面： ∴E,F,G,H四点共面 (2)平面ABCD∥平面EFGH. (2)EF=O亦-OE=k(OB-OA)=kAB,且由(1)知 证明(1)，四边形ABCD是平行四边形， E元=kO元-kOA=kAC,于是EF∥AB,EG∥AC. :A元=AB+AD.E元=O元-O龙=k元-kOA= ,EF,EG是平面EFGH内的相交线，AB,AC是平 kAC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=kOB 面ABCD内的相交线，∴.平面EFGH∥平面ABCD. kOA+kOi-kOA=O庐-OE+Oi-OE=E苹+Ei. 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时空间中向量的坐标及向量的坐标运算 1.了解空间向量的坐标。 课标定位 2.掌握空间向量的坐标运算及两向量数量积的坐标表示 素养阐释 3.能根据向量的坐标判定两向量平行、垂直问题， 4.加强直观想象和数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、 空间中向量的坐标 (2)a·b=x1x2十y1y2十z1z2 【问题思考】 (3)la=va·a=√tt2 1.设{e1,e2,e3}是空间中的一个单位正交基底，对于任 一向量α是否一定能用此基底表示？若能，它有多少种表示 (4)cos〈a,b）= a·b lallbl= x1x2十y1y2十2122 √+y计√十计通 形式？若不能，请举例说明。 (a≠0且b≠0). 提示一定能；一种 3.做一做：若a=(0,1,-1),b=(3,-2,1),则1b|= 2.如果a,b是空间中两向量，且a=b,那么a,b在单位 :a-2b= a·b= 正交基底{e1,e2,ea}下的表示形式相同吗？ 解析1b|=√32+(-2)2+1严=√4：a-2b=(-6, 提示相同. 5,-3):a·b=0×3+1×(-2)+(-1)×1=-3. 3.填空：一般地，如果空间向量的基底{e1,e2,ea}中，e1, 答案4(-6,5，-3)-3 e2,ea都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基 三、空间向量平行、垂直的坐标表示 底为单位正交基底：在单位正交基底下向量的分解称为向量 的单位正交分解，而且，如果p=xe1十ye2十zea,则称有序 【问题思考】 实数组(x,y,z为向量p的坐标，记作p=(xy,z).其中 1.若向量m=(1,-2,3),n=(-2,4,-6),则m与n x,y,z都称为p的坐标分量. 共线吗？ 4.做一做：已知{e1,e2,ea}是单位正交基底，则有 提示设{e1,e2,eg}是单位正交基底.，m=e1-2e2十3ea, (1)若a=-e1十3e3,则a的坐标为」 n=-e1十4e2-6e=一2m,即n=-2m,…∴m/h,即m与n共线 (2)若m=(2,-,0小则m可用eae,表示为 2.已知a=(xy,z),b=(-3,1,5),且a⊥b,则a的坐 标应满足什么条件？ 提示a⊥b,a·b=0,.-3x十y十5z=0. 答案(1)(-1,0,3)(2)2e1-乞0a 1 3.填空：已知a=(x1y1,21),b=(x2y2z2) 二、 (1)当a≠0时，a∥b台b=aa(A∈R)台(x2y2,z2)= 空间向量的坐标运算 x2=入x1, 【问题思考】 A(x1y1,21)台y2=入y1,若a的每一个坐标分量都不为 1.若a=(x1y1z1),b=(x2y222),则a十mb的坐 标是什么？a·b的值与a,b的坐标有什么关系？ z2=λ21 提示a十mb=(x1十mx2,y1十my2,z1十mz2),a· 零，则有ah曰22=2=2 x1y121 b=x1x2十y1y2十z122. (2)a⊥b台a·b=0=x1x2十y1y2十z1z2=0, 2.填空：若a=(x1y121),b=(x2y2,22),则 (1)a+b=(x1十z2y1十y221十22)( 4做-微已知a=11.Db=(-了，-），若/ v∈R). b,则实数t= :若a⊥b,则实数t= 18
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 (1)E,F,G,H 四点共面; (2)平面ABCD∥平面EFGH. 证明 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴A→C=A→B+A→D,E→G=O→G-O→E=kO→C-kO→A= kA→C=k(A→B+A→D)=k(O→B-O→A+O→D-O→A)=kO→BkO→A+kO→D-kO→A=O→F-O→E+O→H-O→E=E→F+E→H. ∴E,F,G,H 四点共面. (2)E→F=O→F-O→E=k(O→B-O→A)=kA→B,且由(1)知 E→G=kO→C-kO→A=kA→C,于是EF∥AB,EG∥AC. ∵EF,EG 是平面EFGH 内的相交线,AB,AC 是平 面ABCD 内的相交线,∴平面EFGH∥平面ABCD. 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间中向量的坐标及向量的坐标运算 课标定位 素养阐释 1.了解空间向量的坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算及两向量数量积的坐标表示. 3.能根据向量的坐标判定两向量平行、垂直问题. 4.加强直观想象和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、空间中向量的坐标 【问题思考】 1.设{e1,e2,e3}是空间中的一个单位正交基底,对于任 一向量a是否一定能用此基底表示? 若能,它有多少种表示 形式? 若不能,请举例说明. 提示 一定能;一种. 2.如果a,b是空间中两向量,且a=b,那么a,b在单位 正交基底{e1,e2,e3}下的表示形式相同吗? 提示 相同. 3.填空:一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1, e2,e3 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基 底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量 的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序 实数组(x,y,z)为向量p 的坐标,记作p=(x,y,z).其中 x,y,z都称为p 的坐标分量. 4.做一做:已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,则有 (1)若a=-e1+3e3,则a的坐标为 . (2)若m= 2,- 1 2 ,0 ,则m 可用e1,e2,e3 表示为 . 答案 (1)(-1,0,3) (2)2e1- 1 2 e2 二、空间向量的坐标运算 【问题思考】 1.若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a+mb 的坐 标是什么? a·b的值与a,b的坐标有什么关系? 提示 a+mb=(x1+mx2,y1+my2,z1+mz2),a· b=x1x2+y1y2+z1z2. 2.填空:若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)μa+vb=(μx1 +vx2,μy1 +vy2,μz1 +vz2)(μ, v∈R). (2)a·b=x1x2+y1y2+z1z2. (3)|a|= a·a= x 2 1+y 2 1+z 2 1 . (4)cos<a,b>= a·b |a||b| = x1x2+y1y2+z1z2 x 2 1+y 2 1+z 2 1 x 2 2+y 2 2+z 2 2 (a≠0且b≠0). 3.做一做:若a=(0,1,-1),b=(3,-2,1),则|b|= ;a-2b= ;a·b= . 解析 |b|= 32+(-2)2+12 = 14;a-2b=(-6, 5,-3);a·b=0×3+1×(-2)+(-1)×1=-3. 答案 14 (-6,5,-3) -3 三、空间向量平行、垂直的坐标表示 【问题思考】 1.若向量m=(1,-2,3),n=(-2,4,-6),则m 与n 共线吗? 提示 设{e1,e2,e3}是单位正交基底.∵m=e1-2e2+3e3, n=-2e1+4e2-6e3=-2m,即n=-2m,∴m∥n,即m与n共线. 2.已知a=(x,y,z),b=(-3,1,5),且a⊥b,则a的坐 标应满足什么条件? 提示 ∵a⊥b,∴a·b=0,∴-3x+y+5z=0. 3.填空:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). (1)当a≠0时,a∥b⇔b=λa(λ∈R)⇔(x2,y2,z2)= λ(x1,y1,z1)⇔ x2=λx1, y2=λy1, z2=λz1 . 若a 的每一个坐标分量都不为 零,则有a∥b⇔ x2 x1 = y2 y1 = z2 z1 . (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 4.做一做:已知a=(1,1,1),b= - 1 3 ,t,- 1 3 ,若a∥ b,则实数t= ;若a⊥b,则实数t= . 18
第一章空间向量与立体几何 答案-片号 = (×) y2 Z2 【思考辨析】 (3)若a=0,则对任意b=(x,y,z),都有a·b=0. 判断正误.（正确的画“/”，错误的画“X”) (/) (1)给定向量a,无论在何单位正交基底下，其坐标都是 (4)若a=(x1,y1,21),b=(x2y2,22),c=(x3y3, 一样的 (×) x8),则a十b-c=(x1十x2-x3y1十y2-y321十z2一za). (2)若a=(x1y12).b=(x2y22),则ah== (√) 课堂 重难突破 反思感悟 探究一空间向量的坐标运算 已知a=(a1,a2,aa),b=(b1,b2,b3),则a⊥b台 【例1】已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), a1b1十a2b2十ab3=0:ab(b≠0)台a=λb台a1=λb1, p=a-b,q=a十2b-c,求p,q和p·q. a2=入b2,a3=入b3 分析利用向量的坐标运算法则求解。 【变式训练2】已知AB=(1,1,0),AC=(-1,0,2), 解p=a-b=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1): BC=(-2,-1,2),设a=AB,b=AC. 9=a+2b-c=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1): (1)若1c|=3,cBC,求c: p·q=(1,0,-1)·(0,3,1)=1×0+0×3+(-1)× (2)若ka十b与ka-2b互相垂直，求k的值. 1=-1. 解(1)因为c/BC, 【变式训练1】已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求 设c=(-2λ，-入，2λ)， 3a一2b的坐标. 则|c|=√(-2λ)2+(-λ)2+(2x)2=3|a|=3. 解3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28). 所以λ=士1，所以c=(一2，一1,2)或c=(2,1,一2). (2)由题意可知，a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 探究二空间向量平行、垂直的坐标运算 所以ka十b=(k一1，k,2),ka-2b=(k十2，k,一4). 又因为(ka十b)⊥(ka一2b), 【例2】设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5) 所以(ka十b)·(ka一2b)=0. (1)若(ka+b)八a-3b),求k: 所以(k一1.k,2)·(k十2，k,一4)=k2十k一2+k2 (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k. 分析先求ka十b,a一3b的坐标，再根据向量平行与垂 8=0,即2+k-10=0,所以k=2或k=-号 直的充要条件列方程求解：也可由两向量平行或垂直的充要 条件先进行整体运算，再代入坐标求解 探究三利用空间向量的坐标运算求解夹 解由已知条件可知，ka十b=(k-2,5k十3，一k十5)， 角、长度问题 a-3b=(7,-4,-16). 【例3】在△ABC中，已知AC=(7,-1,7),BA= (1)因为(ka+b)∥八a-3b), (-4,-1,-2),BC=(3,-2,5),求AC的长及角A的余 所以号-牛=古解得大=一合 弦值. 7 -4 -16 (2)因为(ka十b)⊥(a一3b),所以(ka十b)·(a-3b)= 分析AC的长即|AC1:cosA=cos(AB,AC),利用公 0,即(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)= 式可求， 0,解得k=106 解由已知条件得|AC|=AC=√72+(-1)2+7平= 3 √9=3√T. 延伸探究 BA=(-4,-1,-2),AB=-BA=(4,1,2), 在本例中，试求向量c,使a⊥c,且b⊥c 解设c=(xy,z), 六cosA=-cOs(BAc)=g.A花=28-1+14」 1 ABIIAC√2IX9 3 41√/23I x+5y-z=0, 132 则 693 1-2x+3y+5z=0,1 28 z=132 【变式训练3】已知a=(-1,0-1),b=(0.- 令z=13,则y=一3，x=28, .c=(28,-3,13).(c不唯一) -)序=（分，7-）求 19
第一章 空间向量与立体几何 答案 - 1 3 2 3 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)给定向量a,无论在何单位正交基底下,其坐标都是 一样的. (×) (2)若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a∥b⇔ x1 x2 = y1 y2 = z1 z2 . (×) (3)若a=0,则对任意b=(x,y,z),都有a·b=0. (√) (4)若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3, z3),则a+b-c=(x1+x2-x3,y1+y2-y3,z1+z2-z3). (√) 课堂·重难突破 探究一 空间向量的坐标运算 【例1】已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=a+2b-c,求p,q和p·q. 分析 利用向量的坐标运算法则求解. 解 p=a-b=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1); q=a+2b-c=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1); p·q=(1,0,-1)·(0,3,1)=1×0+0×3+(-1)× 1=-1. 【变式训练1】已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求 3a-2b的坐标. 解 3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28). 探究二 空间向量平行、垂直的坐标运算 【例2】设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k. 分析 先求ka+b,a-3b的坐标,再根据向量平行与垂 直的充要条件列方程求解;也可由两向量平行或垂直的充要 条件先进行整体运算,再代入坐标求解. 解 由已知条件可知,ka+b=(k-2,5k+3,-k+5), a-3b=(7,-4,-16). (1)因为(ka+b)∥(a-3b), 所以 k-2 7 = 5k+3 -4 = -k+5 -16 ,解得k=- 1 3 . (2)因为(ka+b)⊥(a-3b),所以(ka+b)·(a-3b)= 0,即(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)= 0,解得k= 106 3 . 在本例中,试求向量c,使a⊥c,且b⊥c. 解 设c=(x,y,z), 则 x+5y-z=0, -2x+3y+5z=0, ∴ y=- 3 13 z, x= 28 13 z. 令z=13,则y=-3,x=28, ∴c=(28,-3,13).(c不唯一) 已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0;a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1, a2=λb2,a3=λb3. 【变式训练2】已知A→B=(1,1,0),A→C=(-1,0,2), B→C=(-2,-1,2),设a=A→B,b=A→C. (1)若|c|=3,c∥B→C,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值. 解 (1)因为c∥B→C, 设c=(-2λ,-λ,2λ), 则|c|= (-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2 =3|λ|=3, 所以λ=±1,所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)由题意可知,a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b), 所以(ka+b)·(ka-2b)=0, 所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=k2+k-2+k2- 8=0,即2k2+k-10=0,所以k=2或k=- 5 2 . 探究三 利用空间向量的坐标运算求解夹 角、长度问题 【例3】在△ABC 中,已知 A→C=(7,-1,7),B→A= (-4,-1,-2),B→C=(3,-2,5),求AC 的长及角A 的余 弦值. 分析 AC 的长即|A→C|;cosA=cos<A→B,A→C>,利用公 式可求. 解 由已知条件得|AC|=|A→C|= 72+(-1)2+72 = 99=3 11. ∵B→A=(-4,-1,-2),∴A→B=-B→A=(4,1,2), ∴cosA=cos<A→B,A→C>= A→B·A→C |A→B||A→C| = 28-1+14 21× 99 = 41 231 693 . 【变式训练3】已知a=(-1,0,-1),b= 0,- 1 4 , -1 ,E→F= 1 2 , 1 2 ,- 1 2 ,求: 19
数学 选择性必修第一册 配人教B版 (1)(a,E): (2)E,F两点间的距离： 所以3m-5<0,即m<号 (3)cos(EF,b). 若a与b的夹角为0，则存在1<0，使a=b(a<0), 解1)：a·序=-1×号+0×号+(-1)× 即(2,3，-1)=入(-2，m,1) 2=-2λ， (-）=0a1E萨∴a,E)=90 所以3=λm,解得m=一3， -1=λ (2)E,F两点间的距离|EF1=|E1= √》+(》+(- 故m的取值范国是(-∞，-3)U(-3,）)】 随堂训练。。。。。。· (3)cos(EF,b)= E萨·b EFIbI 1.下面各组向量不平行的是( 11、1 0x2-1×2+(-1Dx(-) A.a=(1,0,0).b=(-3.0,0) B.c=(0.1,0),d=(1,0,1) √)+(》+(-2)×6+(-)+(-1 C.e=(0,1,-1),f=(0,-1,1) D.g=(1,0,0),h=(0,0,0) 答案B 17 2.已知a=(-1,-5,-2),b=(x,2,x+2),若a⊥b,则x 易错辨析 的值为( ) 因不清楚向量夹角与数量积关系致误 A.0 且-号 【典例】设a=(x,2,2),b=(2,-3,5),若a与b的夹 C.-6 D.±6 角为钝角，求实数x的取值范围. 解析，a⊥b,∴.a·b=-x-5×2-2X(x+2)=0, 错解，a与b的夹角为钝角， ∴.cos(a,b)<0,a·b0, = .2x-6十100，x-2. 答案B 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 3.若P(1,0,2),Q(-2,4,3),则1PQ1= 你如何改正？你如何防范？ 解析由已知条件得P=(一3,4,1)， 提示当a与b的夹角为钝角时，cos(a,b)<0,但当 故|PQ1=√9+16+I=√26. osab<0时，a,b)∈（受， 答案√26 正解a与b的夹角为钝角， 4.若a=(2,-3,3),b=(1,0,0),则cosa,b》= 即a,by∈（货），lalb1>0∴-1<cosa,b)<0, ∴a·b<0,即2x-6+10<0, 舞折oa6=日治 解得x<一2. 2×1+(-3)×0+5×0 x=2λ， √22+(-3)2+(5)2×√+0+0 又假设当a=b(入<0)时，得2=-3队， 2=5, 入不存在 故x的取值范围是（一∞，一2）. 答案日 金防范措施 5.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a十b,a·b,2a, 应认真分析题设条件，找出一些隐含或限制条件， (a+b)·(a-b). 对题目条件进行等价转化，并记清公式中的特殊情形， 解由已知条件得a十b=(2,-1,一2)十(0，-1,4)= 不要漏掉 (2十0，-1-1，-2+4)=(2，-2,2)， 【变式训练】已知向量a=(2,3,-1)与b=(-2,m, a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)× (-1)+(-2)×4=-7, 1)的夹角为钝角，求实数m的取值范围。 2a=2(2,-1,-2)=(4,-2,-4), 解由已知，得a·b=2X(-2)+3m-1=3m-5. (a+b)·(a-b)=a2-b2=9-17=-8. 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0, 20
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 (1)<a,E→F>; (2)E,F 两点间的距离; (3)cos<E→F,b>. 解 (1)∵a·E→F = -1× 1 2 +0× 1 2 + (-1)× - 1 2 =0,∴a⊥E→F,∴<a,E→F>=90°. (2)E,F 两点间的距离|EF|=|E→F|= 1 2 2 + 1 2 2 + - 1 2 2 = 3 2 . (3)cos<E→F,b>= E→F·b |E→F||b| = 0× 1 2 - 1 4 × 1 2 +(-1)× - 1 2 1 2 2 + 1 2 2 + - 1 2 2 × 02+ - 1 4 2 +(-1)2 = 51 17 . 易 错 辨 析 因不清楚向量夹角与数量积关系致误 【典例】设a=(x,2,2),b=(2,-3,5),若a与b的夹 角为钝角,求实数x 的取值范围. 错解 ∵a与b的夹角为钝角, ∴cos<a,b><0,∴a·b<0, ∴2x-6+10<0,∴x<-2. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 当a与b 的夹角为钝角时,cos<a,b><0,但当 cos<a,b><0时,<a,b>∈ π 2 ,π . 正解 ∵a与b的夹角为钝角, 即<a,b>∈ π 2 ,π ,|a||b|>0,∴-1<cos<a,b><0, ∴a·b<0,即2x-6+10<0, 解得x<-2. 又假设当a=λb(λ<0)时,得 x=2λ, 2=-3λ, 2=5λ, ∴λ不存在. 故x 的取值范围是(-∞,-2). 应认真分析题设条件,找出一些隐含或限制条件, 对题目条件进行等价转化,并记清公式中的特殊情形, 不要漏掉. 【变式训练】已知向量a=(2,3,-1)与b=(-2,m, 1)的夹角为钝角,求实数m 的取值范围. 解 由已知,得a·b=2×(-2)+3m-1=3m-5. 因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0, 所以3m-5<0,即m< 5 3 . 若a与b的夹角为θ,则存在λ<0,使a=λb(λ<0), 即(2,3,-1)=λ(-2,m,1), 所以 2=-2λ, 3=λm, -1=λ, 解得m=-3, 故m 的取值范围是(-∞,-3)∪ -3, 5 3 . 随堂训练 1.下面各组向量不平行的是( ) A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0) B.c=(0,1,0),d=(1,0,1) C.e=(0,1,-1),f=(0,-1,1) D.g=(1,0,0),h=(0,0,0) 答案 B 2.已知a=(-1,-5,-2),b=(x,2,x+2),若a⊥b,则x 的值为( ) A.0 B.- 14 3 C.-6 D.±6 解析 ∵a⊥b,∴a·b=-x-5×2-2×(x+2)=0, ∴x=- 14 3 . 答案 B 3.若P(1,0,2),Q(-2,4,3),则|P→Q|= . 解析 由已知条件得P→Q=(-3,4,1), 故|P→Q|= 9+16+1= 26. 答案 26 4.若a= (2,-3,3),b= (1,0,0),则 cos<a,b>= . 解析 cos<a,b>= a·b |a||b| = 2×1+(-3)×0+ 3×0 22+(-3)2+(3)2 × 12+02+02 = 1 2 . 答案 1 2 5.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a·b,2a, (a+b)·(a-b). 解 由已知条件得a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)= (2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2), a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)× (-1)+(-2)×4=-7, 2a=2(2,-1,-2)=(4,-2,-4), (a+b)·(a-b)=a2-b2=9-17=-8. 20