数学 选择性必修第一册 配人教B版 又GD=,故点G的坐标为(0，子，0) 解析设点C0,,0),则工，=4牛2-3，y。=10,5 2 2 过点H作HK⊥CG交CG于点K,因为H为CG的中 号w-3-2,故点c号2) 点，所以K为G的中点，故H的坐标为(0，日》，所以 2 答案，号2) EH=1=√0-o+(g-o+(-2)=8 4.已知A(1,1,1),B(1,2,2),C(2,-3,5),D(3,0,4),则 AB.CD= FG=1=√0-)+(-7)+0-o= 解析AB=(0,1,1),C万=(1,3，-1) √+品- .AB.CD=0×1+1×3+1×(-1)=2. 答案2 随堂训练。。 5.(用向量法求解)在正方体ABCD-A,BCD1中，M,N 分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MNDB. 1.点A(2,3,0)位于( 证明以D为原点，DA,DC,DD 12 A.x轴上 B.xOy平面内 C.xOz平面内 D.yOk平面内 方向分别为x轴、y轴、之轴正方 向，建立空间直角坐标系，如图 解析点A的z坐标为0，它在xOy平面内 所示. 答案B 设正方体的棱长为1，则B(1, 2.在空间直角坐标系中，点P(一2,3,4)关于y轴对称点的 坐标为() 1.0.M11,2）,c(0.1,0 A.(2,3,4) B.(2.3,-4) A1(1,0,1) C.(-2,-3,4) D.(-2.3.-4) N是Ca,的中点N(分号号》) 解析坐标关于哪个轴对称，则哪个轴的坐标不变，其他 两个变为原来的相反数.故选B 诚=1.10.m=(侵o)=诚. 答案B NMD,显然MN与DB不共线， 3.已知点A(4,10,3),B(2,一5,1)，C为线段AB的中点，则 ..MN//DB. 点C的坐标为 课后·训练提升 1若半径为r的球在第V卦限内，且与各坐标平面均相切， 则球心的坐标是( A ) 4 B图C@ 2 n A.(r,rr) B.(r,r,-r) 解析根据题意，得点M和点N的坐标分别为(1,0， C.(-r,-r,r) D.(r,-r,r) 答案B ）.(1o 2.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标 是() 根据空间两点间的距离公式，得点M,N之间的距离 A(侵1，-2) B.(323 为MN=店-+1-o+0-= n(得吉2) 故选B C.(-12,3,5) 答案B 答案B 4.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直 3.如图，正方体的棱长为1，M是所在棱的中点，N是所在 线AB与直线CD所成角的余弦值为() 棱的四分之一分点，则M,N之间的距离为( A.522 66 B-52 66 C.5 22 22 D.-5 /22 22 解析AB=(2,-2,-1).C)=(-2,-3,-3), ∴.cos(AB,CD)= AB.CD 5_5v/22 1AB1ICD3×√22 66 26
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 又GD= 3 4 ,故点G 的坐标为 0, 3 4 ,0 . 过点H 作HK⊥CG 交CG 于点K,因为H 为C1G 的中 点,所以 K 为CG 的中点,故 H 的坐标为 0, 7 8 , 1 2 .所以 EH=|E→H|= (0-0)2+ 7 8 -0 2 + 1 2 - 1 2 2 = 7 8 , FG=|F→G|= 0- 1 2 2 + 3 4 - 1 2 2 +(0-0)2 = 1 4 + 1 16 = 5 4 . 随堂训练 1.点A(2,3,0)位于( ) A.z轴上 B.xOy平面内 C.xOz平面内 D.yOz平面内 解析 ∵点A 的z坐标为0,∴它在xOy平面内. 答案 B 2.在空间直角坐标系中,点P(-2,3,4)关于y 轴对称点的 坐标为( ) A.(2,3,4) B.(2,3,-4) C.(-2,-3,4) D.(-2,3,-4) 解析 坐标关于哪个轴对称,则哪个轴的坐标不变,其他 两个变为原来的相反数.故选B. 答案 B 3.已知点A(4,10,3),B(2,-5,1),C 为线段AB 的中点,则 点C 的坐标为 . 解析 设点C(x0,y0,z0),则x0= 4+2 2 =3,y0= 10-5 2 = 5 2 ,z0= 3+1 2 =2,故点C 3, 5 2 ,2 . 答案 3, 5 2 ,2 4.已知A(1,1,1),B(1,2,2),C(2,-3,5),D(3,0,4),则 A→B·C→D= . 解析 ∵A→B=(0,1,1),C→D=(1,3,-1), ∴A→B·C→D=0×1+1×3+1×(-1)=2. 答案 2 5.(用向量法求解)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱BB1 和对角线CA1 的中点,求证:MN∥DB. 证明 以D 为原点,D→A,D→C,DD1 → 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方 向,建 立 空 间 直 角 坐 标 系,如 图 所示. 设正方体的棱长为1,则B(1, 1,0),M 1,1, 1 2 ,C (0,1,0), A1(1,0,1). ∵N 是CA1 的中点,∴N 1 2 , 1 2 , 1 2 . ∵D→B=(1,1,0),N→M= 1 2 , 1 2 ,0 = 1 2 D→B, ∴N→M∥D→B,显然MN 与DB 不共线, ∴MN∥DB. 课后·训练提升 1.若半径为r的球在第Ⅴ卦限内,且与各坐标平面均相切, 则球心的坐标是( ) A.(r,r,r) B.(r,r,-r) C.(-r,-r,r) D.(r,-r,r) 答案 B 2.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB 的中点坐标 是( ) A. 7 2 ,1,-2 B. 1 2 ,2,3 C.(-12,3,5) D. 1 3 , 4 3 ,2 答案 B 3.如图,正方体的棱长为1,M 是所在棱的中点,N 是所在 棱的四分之一分点,则M,N 之间的距离为( ) A. 21 4 B. 29 4 C. 21 2 D. 29 2 解析 根据题意,得点 M 和点N 的坐标分别为 1,0, 1 2 , 1 4 ,1,0 . 根据空间两点间的距离公式,得点M,N 之间的距离 为MN= 1 4 -1 2 +(1-0)2+ 0- 1 2 2 = 29 4 . 故选B. 答案 B 4.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直 线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A. 5 22 66 B.- 5 22 66 C. 5 22 22 D.- 5 22 22 解析 ∵A→B=(2,-2,-1),C→D=(-2,-3,-3), ∴cos<A→B,C→D>= A→B·C→D |A→B||C→D| = 5 3× 22 = 5 22 66 , 26
第一章空间向量与立体几何 六直线AB,CD所成角的余孩值为5y厘 =√5t2-21+2 66 答案A 故当1=号时，AB有最小值为2 5 5.(多选题)下列叙述正确的是( A.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是 答案9 (0,b,c) 8.(用向量法求解下列问题) B.在空间直角坐标系中，在Oz平面上的点的坐标一定 如图，已知直三棱柱ABC-A1B,C1,在底 可写成(0，b,c) 面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA= C.在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作 90°，棱AM1=2,N是A1A的中点. (0.0,c) (1)求BN的长： D.在空间直角坐标系中，在xOk平面上点的坐标是(a, (2)求异面直线BA1与CB,所成角的 0,c) 余弦值。 解析在Oz上点的坐标形式为(a,0,0),即y坐标与z 解如图，以C为原点，C,C,CC的方向分别为x轴、 坐标均为0，A错误；BCD正确 y轴、之轴正方向，建立室间直角坐标系如图所示 答案BCD 6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的面积为 解析AB=√(4-1)2+2-(-2)]+(3-11) =√89 A AC=√(6-1)2+-1-(-2)]+(4-11)月 =√丙， (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), BC=√(6-4)2+(-1-2)2+(4-3)7=√14. ∴.|BN1=√1-0)2+(0-1)2+(1-0)7=5 显然AC2+BC2=AB2.故△ABC是直角三角形. BN的长为， 所以Sa=××厉-5厘 (2)依题意得A1(1,0,2).B(0.1,0),C(0,0,0). 2 B1(0,1,2) 答案5但 BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1·CB1=3. 2 又BA=6,lCBI=5, 7.已知A(1一t,1-t,t),B(2,t,t),则AB的最小值为 fcos(BACB) BACB √30 IBAICB 10 解析AB=√[2-(1-t)]+[t-(1-t)]+(t-t)月 异面直线BA,与CB,所成角的余弦值为@ 10 习题课 空间向量及其运算 1.了解空间向量的有关概念、基本定理. 课标定位 2.掌握向量的坐标表示及运算，掌握两向量的数量积 素养阐释 3.能够判断向量的平行和垂直. 4.加强数学运算能力和逻辑推理能力的培养， 课前 ·基础认知 一、空间向量的有关概念 续表 【问题思考】 名称 定义 记法 1.填表： 单位 le|=1(e为单 名称 定义 记法 向量 模等于1的向量 位向量) 零向量始点和终点相同的向量 0 相等 大小相等、方向相同的 向量 向量 a-b 27
第一章 空间向量与立体几何 ∴直线AB,CD 所成角的余弦值为 5 22 66 . 答案 A 5.(多选题)下列叙述正确的是( ) A.在空间直角坐标系中,在Ox 轴上的点的坐标一定是 (0,b,c) B.在空间直角坐标系中,在yOz 平面上的点的坐标一定 可写成(0,b,c) C.在空间直角坐标系中,在Oz 轴上的点的坐标可记作 (0,0,c) D.在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a, 0,c) 解析 在Ox 上点的坐标形式为(a,0,0),即y 坐标与z 坐标均为0,A错误;BCD正确. 答案 BCD 6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的面积为 . 解析 AB= (4-1)2+[2-(-2)]2+(3-11)2 = 89, AC= (6-1)2+[-1-(-2)]2+(4-11)2 = 75, BC= (6-4)2+(-1-2)2+(4-3)2 = 14. 显然AC2+BC2=AB2.故△ABC 是直角三角形. 所以S△ABC= 1 2 × 14× 75= 5 42 2 . 答案 5 42 2 7.已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则AB 的最小值为 . 解析 AB= [2-(1-t)]2+[t-(1-t)]2+(t-t)2 = 5t2-2t+2. 故当t= 1 5 时,AB 有最小值为 35 5 . 答案 35 5 8.(用向量法求解下列问题) 如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底 面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA = 90°,棱AA1=2,N 是A1A 的中点. (1)求BN 的长; (2)求异面直线BA1 与CB1 所成角的 余弦值. 解 如图,以C 为原点,C→A,C→B,CC1 → 的方向分别为x 轴、 y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系如图所示. (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴|B→N|= (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2 = 3, ∴BN 的长为 3. (2)依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0), B1(0,1,2), ∴BA1 →=(1,-1,2),CB1 →=(0,1,2),∴BA1 →·CB1 →=3. 又|BA1 →|= 6,|CB1 →|= 5, ∴cos<BA1 →,CB1 →>= BA1 →·CB1 → |BA1 →||CB1 →| = 30 10 . ∴异面直线BA1 与CB1 所成角的余弦值为 30 10 . 习题课———空间向量及其运算 课标定位 素养阐释 1.了解空间向量的有关概念、基本定理. 2.掌握向量的坐标表示及运算,掌握两向量的数量积. 3.能够判断向量的平行和垂直. 4.加强数学运算能力和逻辑推理能力的培养. 课前·基础认知 一、空间向量的有关概念 【问题思考】 1.填表: 名称 定义 记法 零向量 始点和终点相同的向量 0 续 表 名称 定义 记法 单位 向量 模等于1的向量 |e|=1(e 为单 位向量) 相等 向量 大小相等、方向相同的 向量 a=b 27
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 续表 解析O-O+B驴=-2D+--?(Bi+ 名称 定义 记法 相反 大小相等、方向相反的 a的相反向量为 向量 向量 -a 平行 两个非零向量方向相 al/b 答案-0-+( 向量 同或相反 三、两个向量的数量积 向量 表示向量的有向线段 【问题思考】 共面平移后在同一平面内 1填空：(1)两个向量的夹角：空间中，给定两个非零向 2.做一做：在正三棱锥S-ABC中，侧棱长为5，底面边 量a,b,任意在空间中选定一点O,作OA=a,OB=b,则 长为3，则向量S与B武是( ∠AOB叫作a与b的夹角，记作(a,b),其范围是[0，π]：若 a,b》=受，则alb, (2)两向量的数量积：a·b=lallblcos(a,b》 (3)空间向量的数量积的性质： ①a⊥b台a·b=0:②a·a=aL2=a2;③la·bl≤ lallbl;④(aa)·b=入(a·b):⑤a·b=b·a(交换律)： ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). A.相等向量 B.相反向量 2.做一做：若单位向量a,b,c两两夹角都是60°，且p= C.平行向量 D.共面向量 a十b-2c,q=2b-a,则p·q= 答案D 解析p·q=(a十b-2c)·(2b-a) 二、空间向量的有关定理 =2a·b+2b2-4b·c-a2-a·b+2a·c 【问题思考】 1.填表： =2x+2-4x分-1-+2x号 1 定理 内容 =1+2-2-1-2+1 共线向量 如果a≠0，且ba,则存在唯一的实数A,使得 基本定理 b=Aa 若两个向量a,b不共线，则向量a,b,c共面的 答案} 共面向 充要条件是，存在唯一的实数对(x,y),使c= 量定理 四、向量的坐标运算 xa+地，x,y∈R 1.填空：已知a=(x1y1,21),b=(x2y2,z2),则 若平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内 (1)a十b=（还1十x2y十y2421十2： 平面向量 任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使 (2)ahb=a台x2=入x1y2=y1,22=Az1(b≠0)： 基本定理 得c=xa十yb (3)a·b=x1x2+y1y2十z122 a·b x1x2十y1y2十21z2 定理：如果空间中的三个向量a,b,c不共面，那 么对空间中任意一个向量p,存在唯一的有序实 (④)osa:b》=1ab-++/++ 数组(x,y,z)使得p=xa十yb十C. 2.做一做：若a=(1,1,1),b=(-1,0,-2),则(a十 空间向量 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对平面 b)·b= 基本定理 ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数 解析a十b=(0,1,-1), x,y,2,使OP=xOA+Oi+O元，且x+y+ .(a+b)·b=2. z=1 答案2 2.做一做：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平 【思考辨析】 行四边形，若AC与BD的交点为O,BA=a,BC=b.B萨= 判断正误.（正确的画“/”，错误的画“X”) c,试用a,b,c表示O币为 (1)0与任何向量平行，与任何向量垂直. (√) D (2)空间中任何两个非零向量都共面. (/) (3)若a%,则a与b同向. (X) (4)若a·b<0,则(a,b)为钝角. (×) (5)若M1,2,3),N(2,1,2),则M=(-1,1,1). (×) (6)若a=(-2,1,4),b=(-1,-1,5),则2a-b= (-3,3,3) (√) 28
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 续 表 名称 定义 记法 相反 向量 大小相等、方向相反的 向量 a的相反向量为 -a 平行 向量 两个非零向量方向相 同或相反 a∥b 向量 共面 表示向量的有向线段 平移后在同一平面内 — 2.做一做:在正三棱锥S-ABC 中,侧棱长为5,底面边 长为3,则向量S→A 与B→C 是( ) A.相等向量 B.相反向量 C.平行向量 D.共面向量 答案 D 二、空间向量的有关定理 【问题思考】 1.填表: 定理 内容 共线向量 基本定理 如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 b=λa 共面向 量定理 若两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的 充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c= xa+yb,x,y∈R 平面向量 基本定理 若平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内 任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使 得c=xa+yb 空间向量 基本定理 定理:如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那 么对空间中任意一个向量p,存在唯一的有序实 数组(x,y,z)使得p=xa+yb+zc. 推论:设O,A,B,C 是不共面的四点,则对平面 ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使O→P=xO→A+yO→B+zO→C,且x+y+ z=1 2.做一做:如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平 行四边形,若AC 与BD 的交点为O,B→A=a,B→C=b,B→P= c,试用a,b,c表示O→P 为 . 解析 O→P=O→B+B→P=- 1 2 B→D+B→P=- 1 2 (B→A+ B→C)+B→P=- 1 2 a- 1 2 b+c. 答案 - 1 2 a- 1 2 b+c 三、两个向量的数量积 【问题思考】 1.填空:(1)两个向量的夹角:空间中,给定两个非零向 量a,b,任意在空间中选定一点O,作O→A=a,O→B=b,则 ∠AOB 叫作a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π];若 <a,b>= π 2 ,则a⊥b. (2)两向量的数量积:a·b=|a||b|cos<a,b>. (3)空间向量的数量积的性质: ①a⊥b⇔a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤ |a||b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律); ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 2.做一做:若单位向量a,b,c两两夹角都是60°,且p= a+b-2c,q=2b-a,则p·q= . 解析 p·q=(a+b-2c)·(2b-a) =2a·b+2b2-4b·c-a2-a·b+2a·c =2× 1 2 +2-4× 1 2 -1- 1 2 +2× 1 2 =1+2-2-1- 1 2 +1 = 1 2 . 答案 1 2 四、向量的坐标运算 1.填空:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2); (2)a∥b⇔b=λa⇔x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(b≠0); (3)a·b=x1x2+y1y2+z1z2; (4)cos<a,b>= a·b |a||b| = x1x2+y1y2+z1z2 x 2 1+y 2 1+z 2 1 x 2 2+y 2 2+z 2 2 . 2.做一做:若a=(1,1,1),b=(-1,0,-2),则(a+ b)·b= . 解析 ∵a+b=(0,1,-1), ∴(a+b)·b=2. 答案 2 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)0与任何向量平行,与任何向量垂直. (√) (2)空间中任何两个非零向量都共面. (√) (3)若a∥b,则a与b同向. (×) (4)若a·b<0,则<a,b>为钝角. (×) (5)若M(1,2,3),N(2,1,2),则M→N=(-1,1,1). (×) (6)若a=(-2,1,4),b=(-1,-1,5),则2a-b= (-3,3,3). (√) 28
第一章空间向量与立体几何 课堂·重难突破 探究一空间向量的线性运算 【例1】如图，在长方体ABCD-ABC1D1中，O为 AC的中点. D 解远-成+花-材+号 -i+号0示-0i) O- B -oi+号[20+0心)-0耐] 1)化简A0-号店-2而- =-+i+心 (2)用A店，A市，A4表示0C,则0C= 分析结合图形，灵活应用三角形法则和平行四边形法 =m+M=2耐-耐++心= 则求解 耐+号成+号元. 解析(1)A,0-号A店-号市=A0-号（正+ AD)=A10-A0=A10+01=AA 探究二共线向量基本定理、共面向量定理 (20d=2C=2店+). 的应用 0C=0心+CC=2(A弦+A)+AA=号A店+ 【例2】已知E,F,G,H分 别是空间四边形ABCD的边 2市+AA. AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证：E,F,G,H四点 答案(1AA(2)2A+2A市+AA 共面： (2)求证：BD平面EFGH: 延伸探究 (3)设M是EG和FH的 本例中，设E是棱DD,上的点，且D正=DD,若 交点，求证：对空间任意一点0，有O成-O+O成+ E0=xAB+yAD+zAA,试求xyz的值. O元+Oi) 解动=励+Dò=-号D,+2Di+心)= 证明(1)如图，连接BG,则 破-市-号ad, 武-筋+=成+？（武+ B励)=E+B萨+Ei=E萨+ 由条件知=号y=一名= 3 EH. 反思感悟… 由共面向量定理的推论知， 用已知向量表示某一未知向量的方法： E,F,G,H四点共面. 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以 (2)因为前=A-=市-店=2市- 图形为根本是解题的关键.要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等 A)=号Bd,且E,H,B,D四点不共线，所以EHBD. 于由起始向量的始点指向未尾向量的终点的向量，在 立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 又EHC平面EFGH,BD丈平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH, 【变式训练1】如图，在三棱锥O-ABC中，M,N分别 (3)找-点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OH, 是OA,BC的中点，G是△ABC的重心，用向量OA,O店， OG,如图所示 O心表示心.O心. 由(2)知E丽=励，同理元=励 29
第一章 空间向量与立体几何 课堂·重难突破 探究一 空间向量的线性运算 【例1】如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. (1)化简A1 →O- 1 2 A→B- 1 2 A→D= . (2)用A→B,A→D,AA1 → 表示OC1 →,则OC1 →= . 分析 结合图形,灵活应用三角形法则和平行四边形法 则求解. 解析 (1)A1 →O- 1 2 A→B- 1 2 A→D =A1 →O- 1 2 (A→B+ A→D)=A1 →O-A→O=A1 →O+O→A=A1 →A. (2)∵O→C= 1 2 A→C= 1 2 (A→B+A→D), ∴OC1 →=O→C+CC1 →= 1 2 (A→B+A→D)+AA1 →= 1 2 A→B+ 1 2 A→D+AA1 →. 答案 (1)A1 →A (2) 1 2 A→B+ 1 2 A→D+AA1 → 本例中,设 E 是棱DD1 上的点,且 D→E= 2 3 DD1 →,若 E→O=xA→B+yA→D+zAA1 →,试求x,y,z的值. 解 E→O=E→D +D→O= - 2 3 DD1 →+ 1 2 (D→A+D→C)= 1 2 A→B- 1 2 A→D- 2 3 AA1 →, 由条件知,x= 1 2 ,y=- 1 2 ,z=- 2 3 . 用已知向量表示某一未知向量的方法: 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以 图形为根本是解题的关键.要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等 于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在 立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式训练1】如图,在三棱锥O-ABC 中,M,N 分别 是OA,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用向量O→A,O→B, O→C 表示M→G,O→G. 解 M→G=M→A+A→G= 1 2 O→A+ 2 3 A→N = 1 2 O→A+ 2 3 (O→N-O→A) = 1 2 O→A+ 2 3 1 2 (O→B+O→C)-O→A =- 1 6 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C. O→G=O→M +M→G= 1 2 O→A- 1 6 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C= 1 3 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C. 探究二 共线向量基本定理、共面向量定理 的应用 【例2】已知E,F,G,H 分 别是空间 四 边 形 ABCD 的 边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)求证:E,F,G,H 四点 共面; (2)求证:BD∥平面EFGH; (3)设 M 是EG 和FH 的 交点,求证:对空间任意一点O,有O→M = 1 4 (O→A+O→B+ O→C+O→D). 证明 (1)如图,连接BG,则 E→G=E→B+B→G=E→B+ 1 2 (B→C+ B→D)=E→B +B→F +E→H =E→F + E→H. 由共面向量定理的推论知, E,F,G,H 四点共面. (2)因为E→H=A→H-A→E= 1 2 A→D- 1 2 A→B= 1 2 (A→DA→B)= 1 2 B→D,且E,H,B,D 四点不共线,所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH. (3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OH, OG,如图所示. 由(2)知E→H= 1 2 B→D,同理F→G= 1 2 B→D, 29
数学 选择性必修第一册 配人教B版 所以E方=F亡，即EHLFG. 解析(1)由已知条件可知AB=(1,3,1十A),C=(1, 所以四边形EFGH是平行四边形 -3a-1).AB⊥CB, 所以EG,FH交于一点M,且被点M平分. AB.CB=1×1+3×(-3)+(a十1)(-1)=1- 故0mM-号(0+)=202+20心 9十12-1=λ2-9=0.1=±3. (2)AC=AB+AD+AA 2[20+0)]+号[2+00]-o+oi+ ∴.1AC12=|AB12+1AD12+1AA12+2AB.AD+ O元+OD). 2A店.AM+2AD.AA,=4+4+4+2×2×2×2+2× ①反思感悟 1,证明点共线的方法 2×2×号+2×2×2x号=24 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问 题，如证明A,B,C三点共线，即证明AB,AC共线，即 ∴|AC1=26,AC1的长度为2V6 证明AB=AC(a≠0). 答案(1)±3(2)26 2.证明点共面的方法 反思感悟 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如 空间向量数量积的两种计算方法， (1)a.b=lallblcos(a,b) 要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明PA (2)若a=(x1y1,z1),b=(x2y2,z2),则a·b xPB+yPC或对空间中任意一点O,有OA=OP+ x1x2十y1y2十2122 xPi+yP元或O币=xOi+O+O元(x十y十z=1) 即可，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线 【变式训练3】如图，空间 共面的充要条件 四边形ABCD的各边和对角线 的长都等于a点M,N分别是 【变式训练2】如图，在正方体ABCD-A,B,CD1中， AB,CD的中点.求证：MN⊥ E是A1B上的点，F是AC上的点，且A:E=2EB,CF= AB,MN⊥CD. 2AF,则EF与平面A:B,CD的位置关系为 证明设A店=p,AC=q, AD=r. 由题意可知，|p|=|g=|r|=a,且p,g,r三向量两两 夹角均为60° :=A-应=2花+市)-2A店=2q十 B r-p） 解析：E萨=E弦+BA+A ① ∴.A店=g+r-p)·p=2(g·ptr·p- EF=EA1+A,D+D元+C ③ p')=0.MLAB,即MN⊥AB. 又EA1=-2EB,CF=-2AF,BA=-D元， .CD=AD-AC=r-q. ①x2+@,得成=专A-心. .币=2g+r-p-q)=0, :E正，A1D.DC为共面向量. MN⊥Ci,即MN⊥CD. 又EF丈平面A1BCD,∴EF∥平面A1B,CD. 答案平行 易错辨析 探究三空间向量的数量积及应用 因概念不清致误 【典例】已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y), 【例3】(1)已知A(2,1,-1),B(3,4,A),C(2,7,1),且 且a与b同向，求实数x,y的值， AB⊥C,则实数入的值为 (2)在平行六面体ABCD-AB,CD1中，以顶点A为 错解由题意知ah二=十y-2=y 2 3 端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则AC1的长度 为 x2+y-2=2x 解得1， y=-6. 分析(1)先求AB,CB的坐标，再根据AB·CB=0 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 求入值； 你如何改正？你如何防范？ (2)先将AC,用AB,AD和AA表示，再根据数量积 提示将a,b同向与a仍混淆，未弄清a仍的意义：a 运算求AC1l. 与b同向或反向 30
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 所以E→H=F→G,即EHFG, 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG,FH 交于一点M,且被点M 平分. 故 O→M = 1 2 (O→E + O→G )= 1 2 O→E + 1 2 O→G = 1 2 1 2 (O→A+O→B) + 1 2 1 2 (O→C+O→D) = 1 4 (O→A+O→B+ O→C+O→D). 1.证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问 题,如证明A,B,C 三点共线,即证明A→B,A→C 共线,即 证明A→B=λA→C(λ≠0). 2.证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如 要证明 P,A,B,C 四 点 共 面,只 要 能 证 明 P→A = xP→B+yP→C 或对空间中任意一点O,有O→A=O→P+ xP→B+yP→C 或O→P=xO→A+yO→B+zO→C(x+y+z=1) 即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线 共面的充要条件. 【变式训练2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, E 是A1B 上的点,F 是AC 上的点,且A1E=2EB,CF= 2AF,则EF 与平面A1B1CD 的位置关系为 . 解析 ∵E→F=E→B+B→A+A→F, ① E→F=EA1 →+A1 →D+D→C+C→F, ② 又EA1 →=-2E→B,C→F=-2A→F,B→A=-D→C, ①×2+②,得E→F= 1 3 A1 →D- 1 3 D→C, ∴E→F,A1 →D,D→C 为共面向量. 又EF⊄平面A1B1CD,∴EF∥平面A1B1CD. 答案 平行 探究三 空间向量的数量积及应用 【例3】(1)已知A(2,1,-1),B(3,4,λ),C(2,7,1),且 A→B⊥C→B,则实数λ的值为 . (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点A 为 端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为60°,则AC1 的长度 为 . 分析 (1)先求A→B,C→B 的坐标,再根据A→B·C→B=0 求λ值; (2)先将AC1 → 用A→B,A→D 和AA1 → 表示,再根据数量积 运算求|AC1 →|. 解析 (1)由已知条件可知A→B=(1,3,1+λ),C→B=(1, -3,λ-1).∵A→B⊥C→B, ∴A→B·C→B=1×1+3×(-3)+(λ+1)(λ-1)=1- 9+λ2-1=λ2-9=0.∴λ=±3. (2)∵AC1 →=A→B+A→D+AA1 →, ∴|AC1 →|2=|A→B|2+|A→D|2+|AA1 →|2+2A→B·A→D+ 2A→B·AA1 →+2A→D·AA1 →=4+4+4+2×2×2× 1 2 +2× 2×2× 1 2 +2×2×2× 1 2 =24. ∴|AC1 →|=26,∴AC1 的长度为26. 答案 (1)±3 (2)26 空间向量数量积的两种计算方法. (1)a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b= x1x2+y1y2+z1z2. 【变式训练3】如图,空间 四边形ABCD 的各边和对角线 的长都等于a,点 M,N 分别是 AB,CD 的中点.求证:MN ⊥ AB,MN⊥CD. 证明 设A→B=p,A→C=q, A→D=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两 夹角均为60°. ∵M→N=A→N-A→M= 1 2 (A→C+A→D)- 1 2 A→B= 1 2 (q+ r-p), ∴M→N·A→B= 1 2 (q+r-p)·p= 1 2 (q·p+r·pp 2)=0.∴M→N⊥A→B,即MN⊥AB. ∵C→D=A→D-A→C=r-q, ∴M→N·C→D= 1 2 (q+r-p)·(r-q)=0. ∴M→N⊥C→D,即MN⊥CD. 易 错 辨 析 因概念不清致误 【典例】已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y), 且a与b同向,求实数x,y的值. 错解 由题意知a∥b,∴ x 1 = x2+y-2 2 = y 3 . ∴ y=3x, x2+y-2=2x, 解得 x=1, y=3 或 x=-2, y=-6. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 将a,b同向与a∥b 混淆,未弄清a∥b 的意义:a 与b同向或反向. 30