第一章空间向量与立体几何 ∴.lACi12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+ 可得18-12λ-12+16x=0,解得1= 3 2a·c十2b·c=1+1+4+0-2-2=2. ∴.AC1=2 省案-昌 .AD=AD-AA=b-c, 6.如图，四面体ABCD的每条棱长都等 ∴.lAD1=√02-2b·c+c2=√/I+2+4=7, 于2，点E,F分别为棱AB,AD的中 A,D.AC=(b-c)·(a+b+c)=-2. 点，则AB+BC|= s (AD.AC)=AD.AC -2 |B武-E1= 1A,D1IACI√7X2 解析AB+BC1=|AC=2: 14 7 成=号市.励.武=2×2× 并面直线AC,与A,D所成角的余孩值为四 c0s60°=2， 7 故成-萨=成-成=心-成. 答案D 3.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足A店·AC= 励+励=4-2+×4=8. 0,AC·AD=0,AB·AD=0,则△BCD是( 故B武-E萨1=3. A钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 答案2尽 解析Bi=AD-AB,B=AC-AB,B.B武= 7.在平行四边形ABCD中，AB=2AC=2,且∠ACD=90°， (AD-AB)·(AC-AB)=AD.A元-AD.AB- 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求点B,D AB·AC+1AB12=AB12>0, 间的距离 D ∴.cos∠CBD=cos(BC,Bi)= BC.BD BC1B市>0. A 解由已知得AC⊥CD,AC⊥AB, 折叠后AB与CD所成角为60°，于 是，AC·Ci=0,Bi·AC=0,且 (BA,CD)=60°或120° 则|B品12=(BA+AC+Ci)2=|BA12+|AC1?+ ICDI:+2BA AC+2AC CD+2BA CD=22+1+ ∠CBD为锐角.同理，∠BCD与∠BDC均为锐 22+2X2X2cos(BA,CD), 角，∴△BCD为锐角三角形 故B币12=13或5，解得1B币1=√3或5， 答案B 4.(多选题)已知空间四边形每条边和对角线的长都等于a,点 即B,D间的距离为√3或5. E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则-a2等于() 挑战·创新 A.2BA·AC B.2AD·B C.2FG.CA D.2EF BC 如图，在正三棱柱ABC-A,B,C1 解析2BA·AC-2a·a·cos(π- 中，底面边长为2. B (1)设侧棱长为1，求证：AB:⊥ ∠BAC)=2a2(-cos60°)=-a2: 2Ad.Bd=2a·acos60°=a2: BC1: 2FG.Ci=2·g ·ac0s元=-a2; (2)设AB,与BC,的夹角为，求 侧棱的长 B 亦.成=2·号ams0r= (1)证明AB,=AB+BB1,BC=BB,+B武 答案AC BB1⊥平面ABC,.BB1·AB=0,BB1.BC=0. 5.已知la=3√2，lb|=4,m=a+b,n=a+b,(a,b)= 又△ABC为正三角形， 135°.若m⊥n,则入= 脑==音- 解析：m⊥n,m·n=0. AB,·BC=(AB+BB)·(BB,+BC)=AB· 由m·n=(a+b)·(a+ab)=al2+(a+1)a·b+ BB+AB.BC+BB2+BB·BC=1ABIBC1· λ|b|2=0,得18+(a+1)×32×4×cos135°+16x=0, 11
第一章 空间向量与立体几何 ∴|AC1 →|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+ 2a·c+2b·c=1+1+4+0-2-2=2. ∴|AC1 →|= 2. ∵A1 →D=A→D-AA1 →=b-c, ∴|A1 →D|= b2-2b·c+c2 = 1+2+4= 7, A1 →D·AC1 →=(b-c)·(a+b+c)=-2. ∴cos<A1 →D,AC1 →>= A1 →D·AC1 → |A1 →D||AC1 →| = -2 7× 2 = - 14 7 . ∴异面直线AC1 与A1D 所成角的余弦值为 14 7 . 答案 D 3.设A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足A→B·A→C= 0,A→C·A→D=0,A→B·A→D=0,则△BCD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 解析 ∵B→D =A→D -A→B,B→C=A→C-A→B,B→D ·B→C= (A→D-A→B)· (A→C-A→B)=A→D ·A→C-A→D ·A→BA→B·A→C+|A→B|2=|A→B|2>0, ∴cos∠CBD=cos<B→C,B→D>= B→C·B→D |B→C||B→D| >0, ∴∠CBD 为锐角.同理,∠BCD 与∠BDC 均为锐 角,∴△BCD 为锐角三角形. 答案 B 4.(多选题)已知空间四边形每条边和对角线的长都等于a,点 E,F,G 分别是AB,AD,DC的中点,则-a2 等于( ) A.2B→A·A→C B.2A→D·B→D C.2F→G·C→A D.2E→F·B→C 解析 2B→A·A→C=2a·a·cos(π- ∠BAC)=2a2(-cos60°)=-a2; 2A→D·B→D =2a·acos60°=a2; 2F→G·C→A=2· a 2 ·acosπ=-a2; 2E→F·B→C=2· a 2 ·acos60°= 1 2 a2. 答案 AC 5.已知|a|=3 2,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>= 135°.若m⊥n,则λ= . 解析 ∵m⊥n,∴m·n=0. 由m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+(λ+1)a·b+ λ|b|2=0,得18+(λ+1)×32×4×cos135°+16λ=0, 可得18-12λ-12+16λ=0,解得λ=- 3 2 . 答案 - 3 2 6.如图,四面体ABCD 的每条棱长都等 于2,点E,F 分别为棱AB,AD 的中 点,则|A→B+B→C|= , |B→C-E→F|= . 解析 |A→B+B→C|=|A→C|=2; E→F= 1 2 B→D,B→D·B→C=2×2× cos60°=2, 故|B→C -E→F|2 = B→C- 1 2 B→D 2 =B→C2 -B→C · B→D+ 1 4 B→D2=4-2+ 1 4 ×4=3. 故|B→C-E→F|= 3. 答案 2 3 7.在平行四边形ABCD 中,AB=2AC=2,且∠ACD=90°, 将它沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成60°角,求点B,D 间的距离. 解 由已知得AC⊥CD,AC⊥AB, 折叠后AB 与CD 所成角为60°,于 是,A→C·C→D=0,B→A·A→C=0,且 <B→A,C→D>=60°或120°. 则|B→D|2=(B→A+A→C+C→D)2=|B→A|2+|A→C|2+ |C→D|2+2B→A·A→C+2A→C·C→D+2B→A·C→D=22+12+ 22+2×2×2cos<B→A,C→D>, 故|B→D|2=13或5,解得|B→D|= 13或 5, 即B,D 间的距离为 13或 5. 挑战 创新 如 图,在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 2. (1)设 侧 棱 长 为 1,求 证:AB1 ⊥ BC1; (2)设AB1 与BC1 的夹角为 π 3 ,求 侧棱的长. (1)证明 AB1 →=A→B+BB1 →,BC1 →=BB1 →+B→C. ∵BB1⊥平面ABC,∴BB1 →·A→B=0,BB1 →·B→C=0. 又△ABC 为正三角形, ∴<A→B,B→C>=π-<B→A,B→C>=π- π 3 = 2π 3 . ∵AB1 →·BC1 →=(A→B+BB1 →)·(BB1 →+B→C)=A→B· BB1 →+A→B·B→C+BB1 →2+BB1 →·B→C=|A→B||B→C|· 11
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 cos(AB,BC)+|BB12=-1+1=0. IBC 1. AB⊥BC ..cos(AB,BC1)= IBB,12-11 (2)解结合(1)知AB1·BC=|AB11BC1cos(AB, 2+1BBI22 BC)+1BBI2=1BB,12-1. .BB1I=2, :|AB1I=√1AB1?+BBI?=√2+|BBI2= 即侧棱的长为2. 1.1.2 空间向量基本定理 1.了解共面向量定理和空间向量基本定理」 课标定位 2.能够证明共面问题， 素养阐释 3.能够用给出的基底表示有关向量 4.加强直观想象和数学运算能力的培养」 课前·基础认知 一、共面向量定理 (2)对定理的说明 【问题思考】 ①空间向量基本定理中，p用a,b,c表示的表达式p= 1.空间任何两个向量一定共面吗？三个向量呢？ xa十yb十zc唯一.特别地，当a,b,c不共面时，可知xa十 提示一定；不一定， yb+2c=0台x=y=z=0. 2.填空：(1)共面向量定理 ②表达式xa十yb十c一般称为向量a,b,c的线性组 如果两个向量a,b不共线，则向量a,b,c共面的充要 合或线性表达式。 条件是，存在唯一的实数对(xy),使c=xa土b. ③空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一 (2)四点共面的判断方法 组基底，记为{a,b,c以.此时，a,b,c都称为基向量：如果p= 如果A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充 xa十b十c,则称xa十vb十2c为p在基底{a,b,c}下的分 要条件是，存在唯一的实数对(x,y),使A下=xAB+AC 解式. 3.做一做：在下列条件中，使点M与点A,B,C一定共 3.做一做：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1= 面的是() a,AB=b,AD=c,若E为AD1的中点，则C它用a,b,c A.OM=-30A-20B-0C 可表示为 B.OM+OA+Oi+O元=0 解析庄-D+D正-C可+号D,d-欧 C.MA+MB+MC=0 n.0M=1苑-0耐+2 }市-Ad--2市=a-6-c 解析对于选项C,+M店+M心=0. 1 答案a-b-2c .MA=-MB-M心，∴点M与点A,B,C必共面. 【思考辨析】 答案C 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） 二、空间向量基本定理 (1)任意给平面a上的两个向量a,b,则平面a上的任 【问题思考】 何向量m均可用a,b表示 (X) 1.我们知道给定平面上两个不共线的向量a,b,则平面 中的任何向量都可以用a,b表示，且表示形式是唯一的.要 （2若=号C+号市.则AB.CD四点共面 能表示空间中的任一向量，至少应给出几个向量？给出的向 (N) 量应满足什么条件？ (3)任意一组不共线的向量a,b,c都可以构成空间的 提示三个；不共面， 个基底 (×) 2.填空：(1)空间向量基本定理 (4)同一个基底表示同一向量的方式唯一 (√) 如果空间中的三个向量a,b,c不共面，那么对空间中 (5)空间中的基底是唯一的. (×) 的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 (6)已知{a,b,c)是空间向量的一组基底，若p=x1a十 p=xa十yb十xc. y1b十21c,且p=x2a十y2b十z2c,则必有x1=x2y1=y2, 21=22 () 12
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 cos<A→B,B→C>+|BB1 →|2=-1+1=0, ∴AB1⊥BC1. (2)解 结合(1)知 AB1 →·BC1 →=|A→B||B→C|cos<A→B, B→C>+|BB1 →|2=|BB1 →|2-1. ∵|AB1 →|= |A→B|2+|BB1 →|2 = 2+|BB1 →|2 = |BC1 →|, ∴cos<AB1 →,BC1 →>= |BB1 →|2-1 2+|BB1 →|2= 1 2 , ∴|BB1 →|=2, 即侧棱的长为2. 1.1.2 空间向量基本定理 课标定位 素养阐释 1.了解共面向量定理和空间向量基本定理. 2.能够证明共面问题. 3.能够用给出的基底表示有关向量. 4.加强直观想象和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、共面向量定理 【问题思考】 1.空间任何两个向量一定共面吗? 三个向量呢? 提示 一定;不一定. 2.填空:(1)共面向量定理 如果两个向量a,b 不共线,则向量a,b,c共面的充要 条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb. (2)四点共面的判断方法 如果A,B,C 三点不共线,则点P 在平面ABC 内的充 要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使A→P=xA→B+yA→C. 3.做一做:在下列条件中,使点 M 与点A,B,C 一定共 面的是( ) A.O→M=3O→A-2O→B-O→C B.O→M+O→A+O→B+O→C=0 C.M→A+M→B+M→C=0 D.O→M= 1 4 O→B-O→A+ 1 2 O→C 解析 对于选项C,∵M→A+M→B+M→C=0, ∴M→A=-M→B-M→C,∴点M 与点A,B,C 必共面. 答案 C 二、空间向量基本定理 【问题思考】 1.我们知道给定平面上两个不共线的向量a,b,则平面 中的任何向量都可以用a,b表示,且表示形式是唯一的.要 能表示空间中的任一向量,至少应给出几个向量? 给出的向 量应满足什么条件? 提示 三个;不共面. 2.填空:(1)空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中 的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 p=xa+yb+zc. (2)对定理的说明 ①空间向量基本定理中,p 用a,b,c表示的表达式p= xa+yb+zc唯一.特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+ yb+zc=0⇔x=y=z=0. ②表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的线性组 合或线性表达式. ③空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一 组基底,记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量;如果p= xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p 在基底{a,b,c}下的分 解式. 3.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,设AA1 →= a,A→B=b,A→D=c,若E 为A1D1 的中点,则C→E 用a,b,c 可表示为 . 解析 C→E =CD1 → +D1 →E =CD1 → + 1 2 D1A1 → =BA1 → - 1 2 A→D=AA1 →-A→B- 1 2 A→D=a-b- 1 2 c. 答案 a-b- 1 2 c 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任意给平面α上的两个向量a,b,则平面α 上的任 何向量m 均可用a,b表示. (×) (2)若A→B= 1 5 A→C+ 1 5 A→D,则A,B,C,D 四点共面. (√) (3)任意一组不共线的向量a,b,c都可以构成空间的 一个基底. (×) (4)同一个基底表示同一向量的方式唯一. (√) (5)空间中的基底是唯一的. (×) (6)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若p=x1a+ y1b+z1c,且p=x2a+y2b+z2c,则必有x1=x2,y1=y2, z1=z2. (√) 12
第一章空间向量与立体几何 课堂重难突破 探究一 共线向量定理的应用 2市--号币-)=筋-G-G) 【例1】如图，四边形 2(2元-)-心-)=成 ABCD,ABEF都是平行四边 形，且不共面，M,N分别是 D ∴EiF底，且Ei1=1心≠心 AC,BF的中点，判断C2与 又，点F不在EH上，四边形EFGH是梯形. M不是否共线， 分析要判断C正与M不是否共线，由共线向量定理判 探究二共面向量定理的应用 定是否存在实数x,使C它=xM.若存在，则C正与M 【例2】对于任意空间四边形ABCD,E,F分别是AB, 共线，否则C正与MN不共线 CD的中点 解M,N分别是AC,BF的中点，而四边形ABCD, 试证：E示与BC,AD共面. ABEF都是平行四边形， 分析 利用向量的运 利用中点关系寻求 :M=M+A亦+F成=，+A亦+成 分析 题意 算法则表示EF E序，BC,AD的关系 又m=M心+C+成+=-+龙 应用向量共面 得出 的充要条件 结论 -2丽2+A+F店=-C+ 证明如图，在室间四边形 -成 ABCD中，E,F分别是AB,CD上的 点，则EF=E+AD+D示， ∴.CE=Ci+2AF+FB=2Mi+A示+F)】 EF=EB+BC+CF. ① .C=2M,.C克MN,即C正与M不共线。 又E,F分别是AB,CD的中点， ①反思感悟 故有EA=-E第，DF=-C求.② 1证明向量共线的方法 将②代入①中，两式相加得2EF=AD+BC, (1)若a≠0，且b∥a,则存在唯一实数入，使得 故E=号A市+号B硫，即E萨与C,A市共面. b=入a. (2)若存在唯一实数入，使得b=a,b≠0，则a仍. 反思感悟一 2.证明空间三点共线的三种思路. 证明空间向量共面或四点共面的方法。 对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成 明三点共线 另两个向量的线性组合，即若p=xa十yb,则向量p, (1)存在实数入，使PA=P成立， a,b共面. (2)对空间任一点O,有O妒=OA+AB(u∈R). (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任 (3)对空间任-点O,有OP=xOA+yOB(x+ -点0，有O币=xOA+yOB+O元，且x+y+z=1, 则P,A,B,C四点共面 y=1). 【变式训练1】如图，已知空间四边形ABCD,E,H 【变式训练2】已知e1,e2为两个不共线的非零向量， 分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边CB,CD上的点， 且AB=e,十e2,AC=2e,+8e2,AD=3e1-3e2,求证：A, 且-号，心=号C市.利用向量法证明四边形EFGH B,C,D四点共面. 证明假设存在实数入，4，使得AB=AC十A心，即 是梯形 e1十e2=λ(2e1十8e2)+u(3e1-3e2)=(2λ十3u)e1十(8- 3)e2. ,e1,e2为两个不共线的非零向量， 2A+3=1, 5 B 解得 8-3=1， 1 证明E,H分别是边AB,AD的中点， =51 花=号，=号花，=-正= 由向量共面的充要条件知，AB,AC,AD共面.又向量 AB,AC,AD有一个公共的起点A,∴A,B,C,D四点共面. 13
第一章 空间向量与立体几何 课堂·重难突破 探究一 共线向量定理的应用 【例 1】 如 图,四 边 形 ABCD,ABEF 都是平行四边 形,且 不 共 面,M,N 分 别 是 AC,BF 的中点,判断 C→E 与 M→N 是否共线. 分析 要判断C→E 与M→N 是否共线,由共线向量定理判 定是否存在实数x,使C→E=xM→N.若存在,则C→E 与M→N 共线,否则C→E 与M→N 不共线. 解 ∵M,N 分别是AC,BF 的中点,而四边形ABCD, ABEF 都是平行四边形, ∴M→N=M→A+A→F+F→N= 1 2 C→A+A→F+ 1 2 F→B. 又M→N =M→C+C→E+E→B+B→N = - 1 2 C→A +C→E - A→F- 1 2 F→B,∴ 1 2 C→A +A→F+ 1 2 F→B= - 1 2 C→A +C→EA→F- 1 2 F→B. ∴C→E=C→A+2A→F+F→B=2(M→A+A→F+F→N). ∴C→E=2M→N,∴C→E∥M→N,即C→E 与M→N 共线. 1.证明向量共线的方法. (1)若a≠0,且b∥a,则存在唯一实数λ,使得 b=λa. (2)若存在唯一实数λ,使得b=λa,b≠0,则a∥b. 2.证明空间三点共线的三种思路. 对于空间三点P,A,B 可通过证明下列结论来证 明三点共线. (1)存在实数λ,使P→A=λP→B 成立. (2)对空间任一点O,有O→P=O→A+tA→B(t∈R). (3)对空间任一点O,有O→P=xO→A+yO→B(x+ y=1). 【变式训练1】如图,已知空间四边形 ABCD,E,H 分别是边AB,AD 的中点,F,G 分别是边CB,CD 上的点, 且C→F= 2 3 C→B,C→G= 2 3 C→D.利用向量法证明四边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E,H 分别是边AB,AD 的中点, ∴A→E = 1 2 A→B,A→H = 1 2 A→D,E→H =A→H -A→E = 1 2 A→D- 1 2 A→B= 1 2 (A→D-A→B)= 1 2 B→D= 1 2 (C→D-C→B)= 1 2 3 2 C→G- 3 2 C→F = 3 4 (C→G-C→F)= 3 4 F→G, ∴E→H∥F→G,且|E→H|= 3 4 |F→G|≠|F→G|. 又点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 探究二 共面向量定理的应用 【例2】对于任意空间四边形ABCD,E,F 分别是AB, CD 的中点. 试证:E→F 与B→C,A→D 共面. 分析 分析 题意 → 利用向量的运 算法则表示E→F → 利用中点关系寻求 E→F,B→C,A→D 的关系 → 应用向量共面 的充要条件 → 得出 结论 证明 如 图,在 空 间 四 边 形 ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 上的 点,则E→F=E→A+A→D+D→F, E→F=E→B+B→C+C→F. ① 又E,F 分别是AB,CD 的中点, 故有E→A=-E→B,D→F=-C→F. ② 将②代入①中,两式相加得2E→F=A→D+B→C. 故E→F= 1 2 A→D+ 1 2 B→C,即E→F 与B→C,A→D 共面. 证明空间向量共面或四点共面的方法. (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成 另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p, a,b共面. (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任 一点O,有O→P=xO→A+yO→B+zO→C,且x+y+z=1, 则P,A,B,C 四点共面. 【变式训练2】已知e1,e2 为两个不共线的非零向量, 且A→B=e1+e2,A→C=2e1+8e2,A→D=3e1-3e2,求证:A, B,C,D 四点共面. 证明 假设存在实数λ,μ,使得 A→B=λA→C+μA→D,即 e1+e2=λ(2e1+8e2)+μ(3e1-3e2)=(2λ+3μ)e1+(8λ- 3μ)e2. ∵e1,e2 为两个不共线的非零向量, ∴ 2λ+3μ=1, 8λ-3μ=1, 解得 λ= 1 5 , μ= 1 5 . ∴A→B= 1 5 A→C+ 1 5 A→D. 由向量共面的充要条件知,A→B,A→C,A→D 共面.又向量 A→B,A→C,A→D 有一个公共的起点A,∴A,B,C,D 四点共面. 13
数学 选择性必修第一册 配人教B版 探究三空间向量基本定理的应用 (2矿=2(Ac+AD)=号(C+A市+A)= 【例3】在空间四边形OABC中，G,H分别是△ABC, 2a+2b+c)=2a+b+2c: △OBC的重心，设OA=a,OB=b,OC=c,试用向量a,b,c 表示G. (3=AC+A)=[+市+a)+ 分析已知基底{a,b,c},利用重心的性质将Gi与a, d+A]=2i+2+2)=2a+b+e: b,c联系起来即可 解如图，设边BC的中点为 (4)A0=AC+C成=AC+4C-AC+号(Ci+ 点D,则G产=Oi-O亡 :0丽-景0成=号 A)=号+号A=号(+a)+A=3a+ 2o+)=b+c). +. 0元-0i+G-0i+子市-0i+子Oi-O) 思想方法 转化与化归思想在线面平行证明题中的应用 3i+号x20成+元)=3a+b+3c. 【典例】如图，已知矩形 G-0i-0元=0+e)-a-号b-c ABCD和矩形ADEF所在平面互相 垂直，点M,N分别在对角线BD, 46i-a 1 AE上，且M=号BD,AN= 延伸探究 1 本例改为：在正四面体O-ABC中，G是△ABC的重 AE,求证：MN/件面CDE. 心，D是BC的中点，设AB=m,AC=n,AO=t,试用m,n, 证明'点M在对角线BD上，且BM=3BD, t表示OG 解元-ai+=a+号-ai+号×号峦+ :M城=D成=成+a应 -0i+号+号衣=1+5m+3n 1 同理A-}市+成， ①反思感悟 “M-M++=(D+A)++ 用已给出的基向量表示空间向量时，要注意运用 数形结合的思想，同时结合向量运算的三角形法则、平 (号心+)=号赋+=+ 行四边形法则，尽量向基向量靠找， 由于C)与D正不共线，根据向量共面的充要条件可知 【变式训练3】如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD' M,Ci,DE共面. 中，AB=a,AD=b,AA=c,P是CA'的中点，M是CD'的 因为MN不在平面CDE内， 中点，N是C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'=4: 所以MN平面CDE. 1,用基底{a,b,c}表示以下向量： 飞方法点睛 A D 1.应用转化与化归的思想方法将线面平行问题化 为向量共面问题 B 2.利用向量证明线面平行有两种方法：一是利用 共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向 A 量共线：二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的 两个向量用来表示出直线上的向量，两种方法中注意 说明直线不在平面内， (1)AP:(2)AM,(3)AN:(4)A: 【变式训练】如图，已知AB,CD 解连接AC,AD' 是异面直线，CDCa,AB∥a,M,N分 )市=专(C+A= 别是AC,BD的中点.求证：MNa. 证明因为CDCa,AB∥a,且 2+市+)=(a+ a AB,CD是异面直线， b+c): 所以在平面a内存在向量a,b,使得AB=a,CD=b, 14
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 探究三 空间向量基本定理的应用 【例3】在空间四边形OABC 中,G,H 分别是△ABC, △OBC 的重心,设O→A=a,O→B=b,O→C=c,试用向量a,b,c 表示G→H. 分析 已知基底{a,b,c},利用重心的性质将G→H 与a, b,c联系起来即可. 解 如图,设边 BC 的中点为 点D,则G→H=O→H-O→G. ∵ O→H = 2 3 O→D = 2 3 × 1 2 (O→B+O→C)= 1 3 (b+c), O→G=O→A+A→G=O→A+ 2 3 A→D=O→A+ 2 3 (O→D-O→A)= 1 3 O→A+ 2 3 × 1 2 (O→B+O→C)= 1 3 a+ 1 3 b+ 1 3 c, ∴G→H=O→H -O→G= 1 3 (b+c)- 1 3 a- 1 3 b- 1 3 c= - 1 3 a,∴G→H=- 1 3 a. 本例改为:在正四面体O-ABC 中,G 是△ABC 的重 心,D 是BC 的中点,设A→B=m,A→C=n,A→O=t,试用m,n, t表示O→G. 解 O→G=O→A+A→G=O→A+ 2 3 A→D=O→A+ 2 3 × 1 2 (A→B+ A→C)=O→A+ 1 3 A→B+ 1 3 A→C=-t+ 1 3 m+ 1 3 n. 用已给出的基向量表示空间向量时,要注意运用 数形结合的思想,同时结合向量运算的三角形法则、平 行四边形法则,尽量向基向量靠拢. 【变式训练3】如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D' 中,A→B=a,A→D=b,AA→'=c,P 是CA'的中点,M 是CD'的 中点,N 是C'D'的中点,点Q 在CA'上,且CQ∶QA'=4∶ 1,用基底{a,b,c}表示以下向量: (1)A→P;(2)A→M;(3)A→N;(4)A→Q. 解 连接AC,AD'. (1)A→P = 1 2 (A→C +AA→')= 1 2 (A→B+A→D +AA→')= 1 2 (a + b+c); (2)A→M = 1 2 (AC+AD')= 1 2 (A→C+A→D +AA→')= 1 2 (a+2b+c)= 1 2 a+b+ 1 2 c; (3)A→N= 1 2 (AC→'+AD→')= 1 2 [(A→B+A→D+AA→')+ (A→D+AA→')]= 1 2 (A→B+2A→D+2AA→')= 1 2 a+b+c; (4)A→Q=A→C+C→Q=A→C+ 4 5 CA→'=A→C+ 4 5 (C→A+ AA→')= 1 5 A→C+ 4 5 AA→'= 1 5 (A→B+A→D)+ 4 5 AA→'= 1 5 a+ 1 5 b+ 4 5 c. 思 想 方 法 转化与化归思想在线面平行证明题中的应用 【典 例 】 如 图,已 知 矩 形 ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相 垂直,点 M,N 分别在对角线BD, AE 上,且 BM = 1 3 BD,AN= 1 3 AE.求证:MN∥平面CDE. 证明 ∵点M 在对角线BD 上,且BM= 1 3 BD, ∴M→B= 1 3 D→B= 1 3 D→A+ 1 3 A→B. 同理,A→N= 1 3 A→D+ 1 3 D→E. ∴M→N=M→B+B→A+A→N= 1 3 D→A+ 1 3 A→B +B→A+ 1 3 A→D+ 1 3 D→E = 2 3 B→A+ 1 3 D→E= 2 3 C→D+ 1 3 D→E. 由于C→D 与D→E 不共线,根据向量共面的充要条件可知 M→N,C→D,D→E 共面. 因为MN 不在平面CDE 内, 所以MN∥平面CDE. 1.应用转化与化归的思想方法将线面平行问题化 为向量共面问题. 2.利用向量证明线面平行有两种方法:一是利用 共线向量定理,找出平面内的一个向量与直线上的向 量共线;二是利用共面向量定理,找出平面内不共线的 两个向量用来表示出直线上的向量.两种方法中注意 说明直线不在平面内. 【变式训练】如图,已知AB,CD 是异面直线,CD⊂α,AB∥α,M,N 分 别是AC,BD 的中点.求证:MN∥α. 证明 因 为 CD ⊂α,AB∥α,且 AB,CD 是异面直线, 所以在平面α内存在向量a,b,使得A→B=a,C→D=b, 14
第一章空间向量与立体几何 且两个向量不共线。 解析由题意，得A心=A店+B心=店+)配=A店+ 由M,N分别是AC,BD的中点，得M=2M+ 合（证-）=店+号应=分AB+是（花+ 店+武+心+市+示)=2+市)=2a+b。 所以MN,a,b共面，所以MNa或MNCa. 动)=+市+花， 若MNCa,则AB,CD必在平面a内，这与已知AB, 1,1,1 CD是异面直线矛盾.故MNa. 易知x十y十=2十4十4=1. 答案1 随堂训练。。。·。。。● 4.已知空间四点P,A,B,C满足PA=2P克-C,下列结 1.下列命题中，真命题的个数是() 论正确的有 (填序号). ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线： ①A,B,C三点共线：②P,A,B,C四点共面：③A,B,C ②向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面： 三点不共线：④P,A,B,C四点不共面. ③若ab,则存在唯一的实数入，使a=入b: 解析关系式P=2P店-C序可以变形为PA=2P馆+ ④若a,b是两个不共线的向量，而c=a十b(以，4∈R, PC,显然满足PA=xPB+yPC,但不满足x十y=1,从 且≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底. 而得出A,B,C三点不共线，但P,A,B,C四点共面. A.0 B.1C.2 D.3 答案②③ 解析①中当b=0时，a与c不一定共线，故①是假命题： 5.在平行六面体ABCD-AB1CD1中，E,F分别为AB, ②中a,b,c共面时，它们所在的直线平行于同一平 BC:的中点，G为AC1上的一点，连接EF,GE,GF, 面但不一定在同一平面内，故②是假命题： ③当b为零向量，a不为零向量时，入不存在，故③是 AG=子AC.设店=a,市=b,A=c,试用a,b.c表 假命题： 示EF,G】 ④是假命题，a,b不共线.当c=a十b时，a,b,c共面. D 答案A 2.已知空间向量a,b,且A店=a+2b,B武=-5a+6b. CD=7a一2b,则一定共线的三点是() G. A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,DD.A,C,D D 解析Bi-BC+Ci=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+ E B 4b=2AB,因此A,B,D三点共线 解由题意，得萨=成+萨=号店+号（武元+B丽）= 答案A 3.在四面体BACD中，E,G分别是CD,BE的中点.若 2++ad)=a+b+e). AG=zAB+yAD+2AC,+y+= 帝-试++脉-AC+店+之（成+ BE)=-(A+A+AM)+A店+2(B武+BB)= ++网=a+b+c, 课后·训练提升 基础·巩固 答案B 2.对于空间中任意三个向量a,b,2a一b,它们一定是( 1.已知A,B,C三点共线，O为空间任意一点，若O元= A.共面向量 xOi+O,则x的值为() B.共线向量 C.不共面向量 A C.-6 D.-5 D.既不共线也不共面向量 解析AB.C三点共线∴z十日-1=号 答案A 15
第一章 空间向量与立体几何 且两个向量不共线. 由M,N 分别是AC,BD 的中点,得 M→N = 1 2 (M→A+ A→B+B→N+M→C+C→D+D→N)= 1 2 (A→B+C→D)= 1 2 (a+b). 所以M→N,a,b共面,所以MN∥α或MN⊂α. 若MN⊂α,则AB,CD 必在平面α 内,这与已知AB, CD 是异面直线矛盾.故MN∥α. 随堂训练 1.下列命题中,真命题的个数是( ) ①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线; ②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面; ③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb; ④若a,b 是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R, 且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①中当b=0时,a与c不一定共线,故①是假命题; ②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平 面但不一定在同一平面内,故②是假命题; ③当b为零向量,a不为零向量时,λ不存在,故③是 假命题; ④是假命题,a,b不共线.当c=λa+μb时,a,b,c共面. 答案 A 2.已知空间向量a,b,且 A→B=a+2b,B→C= -5a+6b, C→D=7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析 B→D=B→C+C→D=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+ 4b=2A→B,因此A,B,D 三点共线. 答案 A 3.在四面体 BACD 中,E,G 分别是CD,BE 的中点.若 A→G=xA→B+yA→D+zA→C,则x+y+z= . 解析 由题意,得A→G=A→B+B→G=A→B+ 1 2 B→E=A→B+ 1 2 (A→E-A→B)= 1 2 A→B+ 1 2 A→E= 1 2 AB+ 1 4 (A→C+ A→D)= 1 2 A→B+ 1 4 A→D+ 1 4 A→C, 易知x+y+z= 1 2 + 1 4 + 1 4 =1. 答案 1 4.已知空间四点P,A,B,C 满足P→A=2P→B-C→P,下列结 论正确的有 (填序号). ①A,B,C 三点共线;②P,A,B,C 四点共面;③A,B,C 三点不共线;④P,A,B,C 四点不共面. 解析 关系式P→A=2P→B-C→P 可以变形为P→A=2P→B+ P→C,显然满足P→A=xP→B+yP→C,但不满足x+y=1,从 而得出A,B,C 三点不共线,但P,A,B,C 四点共面. 答案 ②③ 5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为AB, BC1 的中点,G 为AC1 上的一点,连接 EF,GE,GF, AG= 1 4 AC1.设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c,试用a,b,c表 示E→F,G→F. 解 由题意,得E→F=E→B+B→F= 1 2 A→B+ 1 2 (B→C+BB1 →)= 1 2 (A→B+A→D+AA1 →)= 1 2 (a+b+c), G→F=G→A+A→B+B→F=- 1 4 AC1 →+A→B+ 1 2 (B→C+ BB1 →)=- 1 4 (A→B+A→D+AA1 →)+A→B+ 1 2 (B→C+BB1 →)= 3 4 A→B+ 1 4 A→D+ 1 4 AA1 →= 3 4 a+ 1 4 b+ 1 4 c. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知 A,B,C 三点共线,O 为空间任意一点,若 O→C= xO→A+ 1 6 O→B,则x 的值为( ) A. 1 6 B. 5 6 C.- 5 6 D.- 1 6 解析 ∵A,B,C 三点共线,∴x+ 1 6 =1,∴x= 5 6 . 答案 B 2.对于空间中任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( ) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面向量 答案 A 15