数学 选择性必修第一册 配人教B版 号励=子故MN的长为号 10.如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，AM= 号d.A=2N.设店=a.A市=6，=c,试用 a,b,c表示M D 则M示=-成=+A-号花= B 不+号A市-专+成)=不+号（茄- aA-合+a=c+号b-e)-子a+b) 解如图，连接AN, 第2课时 空间向量的数量积 课标定位 1.了解两个向量的夹角的概念。 2.掌握空间中两个向量的数量积定义及运算律和性质， 素养阐释 3.加强数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、空间向量的夹角 提示向量. 【问题思考】 2.平面向量的数量积的概念与性质，能否将它们从平面 1.空间中任意两个向量是否一定共面？ 推广到空间中？ 提示一定共面。 提示能. 2.平面上两向量夹角的定义对于空间向量适用吗？ 3.填空： 提示适用 (1)定义：空间中，两个非零向量a与b的数量积（也称 3.填空：空间向量的夹角 为内积)定义为a·b=allblcos(a,b2. 已知两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O, (2)空间向量的数量积的性质 定义 作OA=a,O=b,则大小在[0，π]内的∠AOB称为 ①a⊥b台a·b=0. a与b的夹角 ②a·a=|al2=a2. ③la·bl≤|allb. 记法 (a,b〉 ④(aa)·b=a(a·b). 范围 (a,b)∈[0，.当(a,b)=2时，a⊥b ⑤a·b=b·a(交换律). 4.做一做：如图，在正方体ABCD-A1B,C,D1中， ⑥(a十b)·c=a·c十b·c(分配律). D 4.做一做：在正四面体O-ABC中，若其棱长为1，则 AC.OB= B 解析AC.O=(O元-Oi).O=O元.O成- OA.Oi=1×1Xcos60°-1×1Xcos60°=0. 答案0 【思考辨析】 (AC.DD,)= 判断正误.（正确的画“、/”，错误的画“X”) (A D.AC)= (1)两个向量的夹角的范围是[0，π). (X) 答案乞普 (2)对于非零向量a,b,必有(a,b)=(-a,-b).(/) (3)la·bl=la|·lbl. (×) 二、空间向量的数量积 (4)(a·b)·c=a·(b·c) (X) 【问题思考】 (5)若a·b=b·c,则a=c. (×) 1.向量a在向量b上的投影是向量还是实数？ (6)(a十b)2=a2+2a·b+b2 (√) 6
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 1 3 |B→D|= 4 3 .故MN 的长为 4 3 . 10.如 图,在 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1 中,A→M = 1 2 M→C,A1 →N=2N→D,设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c,试用 a,b,c表示M→N. 解 如图,连接AN, 则 M→N =A→N -A→M =AA1 → +A1 →N - 1 3 A→C = AA1 →+ 2 3 A1 →D - 1 3 (A→B+B→C)=AA1 →+ 2 3 (A→D - AA1 →)- 1 3 (A→B+A→D)=c+ 2 3 (b-c)- 1 3 (a+b)= - 1 3 a+ 1 3 b+ 1 3 c. 第2课时 空间向量的数量积 课标定位 素养阐释 1.了解两个向量的夹角的概念. 2.掌握空间中两个向量的数量积定义及运算律和性质. 3.加强数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、空间向量的夹角 【问题思考】 1.空间中任意两个向量是否一定共面? 提示 一定共面. 2.平面上两向量夹角的定义对于空间向量适用吗? 提示 适用. 3.填空:空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O, 作O→A=a,O→B=b,则大小在[0,π]内的∠AOB 称为 a与b的夹角 记法 <a,b> 范围 <a,b>∈[0,π].当<a,b>= π 2 时,a⊥b 4.做一做:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, <A→C,DD1 →>= ; <A1D1 →,A→C>= . 答案 π 2 π 4 二、空间向量的数量积 【问题思考】 1.向量a在向量b上的投影是向量还是实数? 提示 向量. 2.平面向量的数量积的概念与性质,能否将它们从平面 推广到空间中? 提示 能. 3.填空: (1)定义:空间中,两个非零向量a 与b的数量积(也称 为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)空间向量的数量积的性质 ①a⊥b⇔a·b=0. ②a·a=|a|2=a2. ③|a·b|≤|a||b|. ④(λa)·b=λ(a·b). ⑤a·b=b·a(交换律). ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4.做一做:在正四面体O-ABC 中,若其棱长为1,则 A→C·O→B= . 解析 A→C·O→B = (O→C-O→A)·O→B =O→C·O→BO→A·O→B=1×1×cos60°-1×1×cos60°=0. 答案 0 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量的夹角的范围是[0,π). (×) (2)对于非零向量a,b,必有<a,b>=<-a,-b>. (√) (3)|a·b|=|a|·|b|. (×) (4)(a·b)·c=a·(b·c). (×) (5)若a·b=b·c,则a=c. (×) (6)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (√) 6
第一章空间向量与立体几何 课堂·重难突破 (3)(OA+OB)·(CA+CB)=(OA+OB)·(OA 探究一空间向量的数量积运算 OC+OB-OC)=(OA+OB)(OA+OB-20C)=0A*+ 【例1】已知长方体ABCD-A'B'C'D',AB=AA'=2, 0A.0i-20i.0元+0i.0i+0i2-20i.0元=1+ AD=4,E为侧面AB'的中心，F为A'D'的中点，求下列向 -2x2+1-2x-1 11 量的数量积： (1)AB·AB; 探究二求空间向量的夹角 (2)BC ED'; (3)E序.F 【例2】如图，在正方体ABCD- D 解如图，设AB=a,AD= A'BC'D'中，求向量AC与向量 A b,AA=c,则由题意，得Ia=B AB,B,AD,CD,BD的夹角. lcl=2,1b|=4,lAB1=22, 解连接BD,因为在正方体 D AB,AB)=45°，a·b=b·c= ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD, c·a=0. ∠BAC=45°，AC=AD'=CD', 1)A店.AB=|A店11A1os(A店，AB)=2X 所以(AC,AB)=(AC,AB)= 2x9=4 45°，(AC,BA)=(AC,BA)=180°- (AC,AB)=135°，(AC,AD)= ∠D'AC=60°，(AC,CD)=180° (2.前-成.[2-)+a而]=b: (C,CD)=180°-60°=120°，(AC, [2c-a)+b]=b1:=16, BD)=(AC,Bd)=90°. 延伸探究 (3)萨.FC=(E+A)·(2AD+DC） 在本例中，求异面直线A'B与AC所成的角. [2e-a+2](号b+a)=-号laP+lb1=2 解易求cosA店AC)=A店·A交=1 1AM元=2：A弦. ①反思感悟 [0id= 求两个向量m,n的数量积，一般有两种方法：一 是结合图形确定向量m,n的模及〈m,n〉的大小，直接 “并面直线AB与AC所成的角为号 利用空间向量的数量积的定义来求，此种情况下要注 反思感悟 意向量夹角的正确性：二是选定一组基向量表示向量 a·b m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之 求两向量的夹角需应用公式cos(a,b)=ab, 间的数量积来求. 由cos(a,b)的值确定(a,b)大小时，要特别注意向量夹 角的范围是[0，π]. 【变式训练1】如图，已知正四面体 O-ABC的棱长为1，点E,F分别是OA, 【变式训练2】如图，在直三棱 OC的中点.求下列向量的数量积： 柱ABC-A,B,C,中，侧棱AA1⊥平 (1)OA·OB: 面ABC.若AB=AC=AA1=1, B (2)E.CB: BC=2,则异面直线AC与BC (3)(Oi+O).(Ci+C$). 所成的角为 解(1)已知正四面体的棱长为1，则1OA1=O1=1 解析由题意，得BC∥BC1 又△OAB为等边三角形，∠AOB=60°，故Oi·OB= 则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所 Oi11Oi1cos(OA,Oi)=|Oi1·I1Oi1cos∠AOB=1× 成的角. 1Xcos60°=2 在直三棱柱ABC-A1BC:中，侧棱AA1⊥平面ABC. 若AB=AC=AA1=1,则BC=√2，BA1=2,CA1=√2，即 (2)因为E,F分别是OA,OC的中点，所以EFL △BCA1是正三角形，故异面直线AC与BC1所成的角为 之AC,于是亦.C=1序11C1os(萨，C)= 于故答案为 21C1 CB1oos(c.ci)=7×1×1Xcos120°=- 答案号
第一章 空间向量与立体几何 课堂·重难突破 探究一 空间向量的数量积运算 【例1】已知长方体ABCD-A'B'C'D',AB=AA'=2, AD=4,E 为侧面AB'的中心,F 为A'D'的中点,求下列向 量的数量积: (1)A→B·AB→'; (2)B→C·ED→'; (3)E→F·FC→'. 解 如图,设 A→B=a,A→D= b,AA→'=c,则由题意,得|a|= |c|=2,|b|=4,|AB→'|=22, <A→B,AB→'>=45°,a·b=b·c= c·a=0. (1)A→B·AB→'=|A→B||AB→'|cos<A→B,AB→'>=2× 22× 2 2 =4; (2)B→C·ED→'=B→C· 1 2 (AA→'-A→B)+A'D→' =b· 1 2 (c-a)+b =|b|2=16; (3)E→F·FC→'=(EA→'+A'→F)· 1 2 A'D→'+D'C→' = 1 2 (c-a)+ 1 2 b · 1 2 b+a =- 1 2 |a|2+ 1 4 |b|2=2. 求两个向量m,n 的数量积,一般有两种方法:一 是结合图形确定向量m,n 的模及<m,n>的大小,直接 利用空间向量的数量积的定义来求,此种情况下要注 意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量 m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之 间的数量积来求. 【变式训练1】如图,已知正四面体 O-ABC 的棱长为1,点E,F 分别是OA, OC 的中点.求下列向量的数量积: (1)O→A·O→B; (2)E→F·C→B; (3)(O→A+O→B)·(C→A+C→B). 解 (1)已知正四面体的棱长为1,则|O→A|=|O→B|=1. 又△OAB 为等边三角形,∠AOB=60°,故O→A·O→B= |O→A||O→B|cos<O→A,O→B>=|O→A|·|O→B|cos∠AOB=1× 1×cos60°= 1 2 . (2)因为 E,F 分别是OA,OC 的中点,所以 EF 1 2 AC,于 是 E→F ·C→B =|E→F||C→B|cos<E→F,C→B>= 1 2 |A→C||C→B|cos<A→C,C→B>= 1 2 ×1×1×cos120°=- 1 4 . (3)(O→A+O→B)·(C→A+C→B)=(O→A+O→B)·(O→AO→C+O→B-O→C)=(O→A+O→B)·(O→A+O→B-2O→C)=O→A2+ O→A·O→B-2O→A·O→C+O→B·O→A+O→B2-2O→B·O→C=1+ 1 2 -2× 1 2 + 1 2 +1-2× 1 2 =1. 探究二 求空间向量的夹角 【例2】如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中,求 向 量 A→C 与 向 量 A'B→',B'A→',AD→',CD→',B'D→'的夹角. 解 连 接 BD,因 为 在 正 方 体 ABCD-A'B'C'D' 中,AC⊥ BD, ∠BAC=45°,AC=AD'=CD', 所以 <A→C,A'B→'>= <A→C,A→B>= 45°,<A→C,B'A→'>=<A→C,B→A>=180°- <A→C,A→B >= 135°,<A→C,AD→'>= ∠D'AC=60°,<A→C,CD→'>=180°- <C→A,CD→'>=180°-60°=120°,<A→C, B'D→'>=<A→C,B→D>=90°. 在本例中,求异面直线A'B 与AC 所成的角. 解 易求cos<A'→B,A→C>= A'→B·A→C |A'→B||A→C| = 1 2 .∵<A'→B, A→C>∈[0,π],∴<A'→B,A→C>= π 3 , ∴异面直线A'B 与AC 所成的角为 π 3 . 求两向量的夹角需应用公式cos<a,b>= a·b |a||b| , 由cos<a,b>的值确定<a,b>大小时,要特别注意向量夹 角的范围是[0,π]. 【变式训练2】如图,在直三棱 柱ABC-A1B1C1 中,侧棱AA1⊥平 面ABC.若 AB=AC=AA1 =1, BC= 2,则异面直线A1C 与B1C1 所成的角为 . 解析 由题意,得 BC∥B1C1, 则直线A1C 与BC 所成的角就是异面直线A1C 与B1C1 所 成的角. 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,侧棱AA1⊥平面ABC. 若AB=AC=AA1=1,则BC= 2,BA1= 2,CA1= 2,即 △BCA1 是正三角形,故异面直线A1C 与B1C1 所成的角为 π 3 .故答案为 π 3 . 答案 π 3 7
数学 选择性必修第一册 配人教B版 探究三求向量的模 2X(←）×2x2Xms60°=1+1+4-1=5， 【例3】如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，从 所以EF|=5, 同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是 易错辨析 60°，求对角线AC1和BD1的长. 因忽视角的范围致误 D 【典例】在三棱锥O-ABC中，各棱长都相等，E,F分 别为AB,OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角的余 弦值. 错解如图，取OA=a,O=b,O元=c,且lal=lb1= cl=1, 分析将线段长度转化为向量的模，进而转化为已知向 量的模，应用数量积求解。 解AC=AB+AD+AAi, ∴.1ACI2=AC·AC=(AB+AD+AAi)·(AB+ AD+AA)=1ABI+AD+AA1+2(AB.AD+ AB.A41+AD·AA1)=1+1+1+2(cos60°+cos60°+ 则a·b=b·c=c·a=2 c0s60°)=6. .AC|=6,即对角线AC1的长为6 o=号a+6).萨=2c-b,10=1= 同理，|BD1I2=BD,·BD1=(AD+AA1-AB)· (AD+AA-AB)=1AD+AA+AB+(AD. g0正.球=2a+b).(经c-b)-ae+b AA-AB.AA-AD.AB)=1+1+1+2(cos 60- cos60°-c0s60)=2. c- 1ō1 ∴.|BDI=√2，即对角线BD1的长为2 反思感悟… 3· 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将 ∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为一号 此线段用向量表示，再用其他已知夹角和模的向量表 示此向量，最后利用la2=a·a,通过向量运算去求 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ la|,即得所求距离. 你如何改正？你如何防范？ 提示错解中混淆了异面直线所成角和两向量的夹角， 【变式训练3】已知正三棱柱ABC-A1B,C1的各棱长 都为2，E,F分别是AB,AC1的中点，求EF的长 两异面直线所成角的范国是(0，引 解如图，设AB=a,AC=b,AA=c 正解如图，取Oi=a, 0 Oi=b.O元=c,且lal=|b|= lcl=l,则a·b=b·c=c·a= 是0宽-2a+b.盛-2-b, 11-成-9 由题意知la|=|b|=lcl=2, 0庞.亦=a+b)(分c-b)=ae+ 且(a,b〉=60°，(a,c〉=(b,c〉=90° c-ab-b1=-2 因为萨=耐++A=-号++号花= ∴.cos(OE,B)= OE.BF 2 -zatc+2b. OEB=-子 :异面直线夹角的范围为(0，】“异面直线0E与 所以|EF12=|E序1？=EF:= 4a2+ b2+c2+ BF所成角的余弦值为号 8
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 探究三 求向量的模 【例3】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,从 同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是 60°,求对角线AC1 和BD1 的长. 分析 将线段长度转化为向量的模,进而转化为已知向 量的模,应用数量积求解. 解 ∵AC1 →=A→B+A→D+AA1 →, ∴|AC1 →|2=AC1 →·AC1 →=(A→B+A→D+AA1 →)·(A→B+ A→D+AA1 →)=|A→B|2+|A→D|2+|AA1 →|2+2(A→B·A→D+ A→B·AA1 →+A→D·AA1 →)=1+1+1+2(cos60°+cos60°+ cos60°)=6. ∴|AC1 →|= 6,即对角线AC1 的长为 6. 同理,|BD1 →|2=BD1 →·BD1 →=(A→D +AA1 →-A→B)· (A→D+AA1 →-A→B)=|A→D|2+|AA1 →|2+|A→B|2+2(A→D· AA1 →-A→B·AA1 →-A→D·A→B)=1+1+1+2(cos60°- cos60°-cos60°)=2. ∴|BD1 →|= 2,即对角线BD1 的长为 2. 求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将 此线段用向量表示,再用其他已知夹角和模的向量表 示此向量,最后利用|a|2=a·a,通过向量运算去求 |a|,即得所求距离. 【变式训练3】已知正三棱柱ABC-A1B1C1 的各棱长 都为2,E,F 分别是AB,A1C1 的中点,求EF 的长. 解 如图,设A→B=a,A→C=b,AA1 →=c. 由题意知|a|=|b|=|c|=2, 且<a,b>=60°,<a,c>=<b,c>=90°. 因为E→F=E→A+AA1 →+A1 →F=- 1 2 A→B+AA1 →+ 1 2 A→C= - 1 2 a+c+ 1 2 b, 所以|EF|2 =|E→F|2 =E→F2 = 1 4 a2 + 1 4 b2 +c2 + 2 - 1 4 a·b+ 1 2 b·c- 1 2 a·c = 1 4 ×22+ 1 4 ×22+22+ 2× - 1 4 ×2×2×cos60°=1+1+4-1=5, 所以|EF|= 5. 易 错 辨 析 因忽视角的范围致误 【典例】在三棱锥O-ABC 中,各棱长都相等,E,F 分 别为AB,OC 的中点,求异面直线OE 与BF 所成的角的余 弦值. 错解 如图,取O→A=a,O→B=b,O→C=c,且|a|=|b|= |c|=1, 则a·b=b·c=c·a= 1 2 . ∵O→E= 1 2 (a+b),B→F= 1 2 c-b,|O→E|= 3 2 ,|B→F|= 3 2 ,∴O→E·B→F= 1 2 (a+b)· 1 2 c-b = 1 4 a·c+ 1 4 b· c- 1 2 a·b- 1 2 |b|2=- 1 2 .∴cos<O→E,B→F>= O→E·B→F |O→E||B→F| = - 2 3 . ∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为- 2 3 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中混淆了异面直线所成角和两向量的夹角, 两异面直线所成角的范围是 0, π 2 . 正解 如 图,取 O→A =a, O→B=b,O→C=c,且|a|=|b|= |c|=1,则a·b=b·c=c·a= 1 2 .∵O→E= 1 2 (a+b),B→F= 1 2 c-b, |O→E|= 3 2 ,|B→F|= 3 2 , ∴O→E·B→F= 1 2 (a+b)· 1 2 c-b = 1 4 a·c+ 1 4 b· c- 1 2 a·b- 1 2 |b|2=- 1 2 . ∴cos<O→E,B→F>= O→E·B→F |O→E||B→F| =- 2 3 . ∵异面直线夹角的范围为 0, π 2 ,∴异面直线OE 与 BF 所成角的余弦值为 2 3 . 8
第一章空间向量与立体几何 ①防范措施 √2 弄清两向量的夹角与异面直线所成角的区别和联系， ,所以a,b)=3 ,故该命题是真命题：④向量a在向 4 事实上，两向量夹角的取值范围是[0，π]，异面直 线所或的角的范国是(0，引，设异面直线14，☑所成 量6上的投彩的数量天6-号成该今题是真命题 故真命题的个数为2， 的角为0，方向向量分别为a.b,当0<a,b)≤受时， 答案C 2.在正方体ABCD-ABC,D1中，下列各对向量夹角为 0=(a,b),即cos0=cos(a,b):当T<(a,b)<x时. 45°的是( 0=π-〈a,b〉，即cos0=|cos(a,b)l. A.AB与AC B.AB与C,A C.AB与AD D.AB与B1A1 【变式训练】如图，在空间四边形 答案A OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC= 5,∠0AC=45°，∠0AB=60°，求OA与 3.已知|pl=|q=1,且p,q)=90°，a=3p-2q,b=p+q, 则a·b= BC夹角的余弦值. 解BC=AC-AB. 答案1 B 4.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则 ∴.OA·BC=OA·(AC-AB)= la-b+2c= OA.AC-OA.AB=IOAIIACICOS(OA.AC)-IOAIABI. cos<OA,AB)=8×4Xcos135°-8×6×cos120°=24- 答案5 162. 5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点 M,N分别是边AB,CD的中点，求M不1. ∴cos(OA,B元)=- Oi.B元24-162_3-22 OAIIBCI 8×5 5 解如图，设AB=p,AC=q, AD=r, 随堂训练。。。。。。。。 ∴.lpl=lgl=lrl=a, 1.给出下列命题： 且p,q,r三向量两两夹 ①零向量与任何向量的数量积仍然是零向量： 角均为60°， ②若a·b<0,则(a,b)为钝角： -示-成=2 ③若a·b=-,a=1.1b1=巨，则a6)= C+a动)-=2g+r-p. ④若a·b=一2，la=4,b|=3,则向量a在向量b上的 投影的数量为一导其中真命题的个数为( M=a=子(g+r-p=[g+r+ A.0 B.1 C.2 D.3 p+2gr-gp-p]=2+a+a+2号 解析①零向量与任何向量的数量积为零，而不是零向 量，故该命题是假命题：②若a·b<0,则(a,b)为钝角或 】-受 a·b 平角，故该命题是假命题；③因为cos(a,b)=1alb一 - 2a. 课后·训练提升 基础·巩固 A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 1.若a,b均为非零向量，则“a·b=|a1川b|”是“a与b共 解析(a十b)·(a-b)=a2-b2=0,∴.a十b与a-b 线”的( 垂直. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 答案A C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图，已知空间四边形ABCD的 解析a与b共线有同向和异向两种情况，只有a与b同 各边和对角线长均相等，E是BC 向时才有a·b=a|lb|成立. 的中点，则( 答案A A.AE.BC<AE.C币 2.已知非零向量a,b不共线，且其模相等，则a十b与a一b B.AE·BC=AE·CD 的关系是() C.AE.BC>AE.CD 9
第一章 空间向量与立体几何 弄清两向量的夹角与异面直线所成角的区别和联系. 事实上,两向量夹角的取值范围是[0,π],异面直 线所成的角的范围是 0, π 2 .设异面直线l1,l2 所成 的角为θ,方向向量分别为a,b,当0<<a,b>≤ π 2 时, θ=<a,b>,即cosθ=cos<a,b>;当 π 2 <<a,b><π时, θ=π-<a,b>,即cosθ=|cos<a,b>|. 【变式训练】如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC= 5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求 O→A 与 B→C 夹角的余弦值. 解 ∵B→C=A→C-A→B, ∴O→A·B→C=O→A· (A→C-A→B)= O→A·A→C-O→A·A→B=|O→A||A→C|cos<O→A,A→C>-|O→A||A→B|· cos<O→A,A→B>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24- 162. ∴cos<O→A,B→C>= O→A·B→C |O→A||B→C| = 24-162 8×5 = 3-22 5 . 随堂训练 1.给出下列命题: ①零向量与任何向量的数量积仍然是零向量; ②若a·b<0,则<a,b>为钝角; ③若a·b=-1,|a|=1,|b|= 2,则<a,b>= 3π 4 ; ④若a·b=-2,|a|=4,|b|=3,则向量a在向量b上的 投影的数量为- 2 3 .其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①零向量与任何向量的数量积为零,而不是零向 量,故该命题是假命题;②若a·b<0,则<a,b>为钝角或 平角,故该命题是假命题;③因为cos<a,b>= a·b |a||b| = - 2 2 ,所以<a,b>= 3π 4 ,故该命题是真命题;④向量a在向 量b上的投影的数量是 a·b |b| =- 2 3 ,故该命题是真命题. 故真命题的个数为2. 答案 C 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各对向量夹角为 45°的是( ) A.A→B 与A1C1 → B.A→B 与C1A1 → C.A→B 与A1D1 → D.A→B 与B1A1 → 答案 A 3.已知|p|=|q|=1,且<p,q>=90°,a=3p-2q,b=p+q, 则a·b= . 答案 1 4.若a,b,c 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量,则 |a-b+2c|= . 答案 5 5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于a,点 M,N 分别是边AB,CD 的中点,求|M→N|. 解 如图,设A→B=p,A→C=q, A→D=r, ∴|p|=|q|=|r|=a, 且p,q,r 三向量两两夹 角均为60°, ∴M→N =A→N -A→M = 1 2 (A→C+A→D)- 1 2 A→B= 1 2 (q+r-p). ∴|M→N|2=M→N2= 1 4 (q+r-p)2= 1 4 [q 2+r2+ p 2+2(q·r-q·p-r·p)]= 1 4 a2+a2+a2+2 a2 2 - a2 2 - a2 2 = a2 2 . ∴|M→N|= 2 2 a. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若a,b均为非零向量,则“a·b=|a||b|”是“a 与b 共 线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a与b共线有同向和异向两种情况,只有a 与b同 向时才有a·b=|a||b|成立. 答案 A 2.已知非零向量a,b不共线,且其模相等,则a+b与a-b 的关系是( ) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 解析 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,∴a+b 与a-b 垂直. 答案 A 3.如图,已知空间四边形ABCD 的 各边和对角线长均相等,E 是BC 的中点,则( ) A.A→E·B→C<A→E·C→D B.A→E·B→C=A→E·C→D C.A→E·B→C>A→E·C→D 9
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 D.A正.BC与AE.C市不能比较大小 AB.CD 1 ∴.cos8= 答案C A11C市-2· 4.已知a,b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则a十 又0°≤0≤180°，∴.0=60°. 3b1=() 答案60° A.7 B.√o C.√3 D.4 9.已知平行六面体ABCD- D 解析la+3b2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a2+ A1B1C1D1的棱长都为2， A B 6lallblcos(a,b)+91b12. ∠AAB=∠A1AD=∠BAD= la=|b|=1,a,b)=60°，∴.la+3b|2=13, 60°，E是DC的中点，F是B,C .la+3b1=√3. 的中点，求D, 答案C 解设A店=a,AD=b, 5.(多选题)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列结论正确 AA1=c,则由题意知|a=|b|=|c|=2,(a,b)=(b, 的是( c》=(a,c)=60° A.(AA+AD+AB)*=3AB :D市=-AD=+萨-AD,=a十？b+ B.AC·(AB-A1A)=0 C.AD,与AB的夹角为60 c-+e)-a-b-2 c. D.A1C·B1D1=0 D=(a-2b-2c)°=a+6+c 解析根据数量积的定义知A,B正确：AD,与A1B的夹 角为120°，故C错误：：A1C=A1A+A1D1+A1B1 ab-ae+2be=4+1+1-2-2+1=3 ..AC.BD=(AA+AD+AB).BD= 1DF1=5. A1A.B1D1+A1D1·B1D1+AB,·B1D1=0. 10.已知a十3b与7a一5b垂直，且a一4b与7a一2b垂直， D正确 求(a,b). 答案ABD 解由已知，得(a+3b)·(7a-5b)=7|a2-15lb12+ 6已知空间四边形ABCD,则AB.C可+B元.A心+C. 16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b12- BD= 30a·b=0,解得|b12=2a·b=|a|2,因此cos(a,b)= 解析设AB=a,AC=b,AD=c, a·b1 则原式=a·(c一b)十(b一a)·c一b·(c一a)=a· a1b=2,因为两个向量的夹角取值范国为[0，对]，所 c-a·b+b·c-a·c-b·c+b·a=0. 以(a,b)=60° 答案0 拓展·提高 7.如图，已知正四面体ABCD的棱长 为1，点E是棱CD的中点，则AE· L.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,∠BAD=90°， AB=. ∠BAC=60°，则A正.等于() A.-2 B.2 C.-25D.2√3 解析，正四面体ABCD的棱长为 解析A店.C=AB.(AD-A心)=AB.A市-A店· 1,点E是棱CD的中点， 正应=号成+动应 AC=0-2X2Xcos60°=-2. 答案A =号就.+市.店 2.已知在平行六面体ABCD D A,B,C,D1中，底面ABCD是边 B =×1x1x2+号×1x1×号 长为1的正方形，A41=2, ∠A1AB=∠A1AD=120°，则异 面直线AC1与A1D所成角的余 弦值为( D 答案司 8.已知a,b是异面直线，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,AC⊥b, A B①0 5 BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 c⑤ D①a 7 解析设(AB,CD)=0, 解析设AB=a,AD=b,AA1=c, .AB.CD=(AC+CD+DB).CD=ICDI2=1. 则a·b=0,a·c=b·c=1×2Xc0s120°=-1. AC=a+b+c, 10
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 D.A→E·B→C 与A→E·C→D 不能比较大小 答案 C 4.已知a,b 均为单位向量,且它们的夹角为60°,则|a+ 3b|=( ) A.7 B. 10 C. 13 D.4 解析 |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a|2+ 6|a||b|cos<a,b>+9|b|2. ∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴|a+3b|2=13, ∴|a+3b|= 13. 答案 C 5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论正确 的是( ) A.(AA1 →+A→D+A→B)2=3A→B2 B.A1 →C·(A1B1 →-A1 →A)=0 C.AD1 → 与A1 →B 的夹角为60° D.A1 →C·B1D1 →=0 解析 根据数量积的定义知 A、B正确;AD1 → 与A1 →B 的夹 角为120°,故C错误;∵A1 →C=A1 →A+A1D1 →+A1B1 →, ∴A1 →C·B1D1 →=(A1 →A+A1D1 →+A1B1 →)·B1D1 →= A1 →A·B1D1 →+A1D1 →·B1D1 →+A1B1 →·B1D1 →=0. ∴D正确. 答案 ABD 6.已知空间四边形ABCD,则A→B·C→D+B→C·A→D+C→A· B→D= . 解析 设A→B=a,A→C=b,A→D=c, 则原式=a·(c-b)+(b-a)·c-b·(c-a)=a· c-a·b+b·c-a·c-b·c+b·a=0. 答案 0 7.如图,已知正四面体ABCD 的棱长 为1,点E 是棱CD 的中点,则A→E· A→B= . 解析 ∵正四面体ABCD 的棱长为 1,点E 是棱CD 的中点, ∴A→E·A→B= 1 2 (A→C+A→D)·A→B = 1 2 A→C·A→B+ 1 2 A→D·A→B = 1 2 ×1×1× 1 2 + 1 2 ×1×1× 1 2 = 1 2 . 答案 1 2 8.已知a,b是异面直线,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,AC⊥b, BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a 与b所成的角是 . 解析 设<A→B,C→D>=θ, ∵A→B·C→D=(A→C+C→D+D→B)·C→D=|C→D|2=1, ∴cosθ= A→B·C→D |A→B||C→D| = 1 2 . 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案 60° 9.已 知 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 都 为 2, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD= 60°,E 是DC 的中点,F 是B1C 的中点,求|D1 →F|. 解 设 A→B =a,A→D =b, AA1 →=c,则由题意知|a|=|b|=|c|=2,<a,b>=<b, c>=<a,c>=60°. ∵D1 →F=A→F-AD1 →=A→B+B→F-AD1 →=a+ 1 2 (b+ c)-(b+c)=a- 1 2 b- 1 2 c, ∴|D1 →F|2= a- 1 2 b- 1 2 c 2 =a2+ 1 4 b2+ 1 4 c2- a·b-a·c+ 1 2 b·c=4+1+1-2-2+1=3. ∴|D1 →F|= 3. 10.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b 与7a-2b 垂直, 求<a,b>. 解 由已知,得(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+ 16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2- 30a·b=0,解得|b|2=2a·b=|a|2,因此cos<a,b>= a·b |a||b| = 1 2 ,因为两个向量的夹角取值范围为[0,π],所 以<a,b>=60°. 拓展 提高 1.在三棱锥A-BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°, ∠BAC=60°,则A→B·C→D 等于( ) A.-2 B.2 C.-23 D.23 解析 A→B·C→D=A→B·(A→D-A→C)=A→B·A→D-A→B· A→C=0-2×2×cos60°=-2. 答案 A 2.已 知 在 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 中,底面ABCD 是边 长 为 1 的 正 方 形,AA1=2, ∠A1AB=∠A1AD=120°,则异 面直线AC1 与A1D 所成角的余 弦值为( ) A. 6 3 B. 10 5 C. 15 5 D. 14 7 解析 设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c, 则a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos120°=-1. ∵AC1 →=a+b+c, 10