山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 若X-1AX=个，则个主对角线上的元素都是A的特征值， 而X的列向量就是相对应的特征值的特征向量 ·特征向量不是孤立存在的，它一定是依附于某一个特征 值的，而且一个特征向量只能对应一个特征值. 但是一个特征值却可以有无穷多个特征向量
• 若𝑋 −1𝐴𝑋 = Λ，则Λ主对角线上的元素都是𝐴的特征值， 而𝑋的列向量就是相对应的特征值的特征向量. • 特征向量不是孤立存在的，它一定是依附于某一个特征 值的，而且一个特征向量只能对应一个特征值. 但是一个特征值却可以有无穷多个特征向量
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2、特征值特征向量的性质 性质1如果是矩阵A的属于特征值入的特征向量，k是 非零常数，则k也是矩阵A的属于特征值入的特征向量. 性质2如果Q1,2都是矩阵A的属于特征值入的特征向量， 则1+2（≠0）也是矩阵A的属于特征值入的特征向量. ·综上，属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合， 还是属于这个特征值的特征向量
2、特征值特征向量的性质 性质1 如果 𝛼 是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量，𝑘是 非零常数，则𝑘𝛼也是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量. 性质2 如果 𝛼1 , 𝛼2 都是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量， 则𝛼1 + 𝛼2 (≠ 0)也是矩阵 𝐴 的属于特征值 𝜆 的特征向量. • 综上，属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合， 还是属于这个特征值的特征向量
山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2、特征值特征向量的求法 Aa=λa 定义2 设A=(a)nxn (λE-A)=0 IE-A (E-A)X=0 1λ-a11 一012 一a1n 一021 λ-022 有非零解 一02m λE-A=0 -ani 一an2 一annl 称为矩阵A的特征多项式
2、特征值特征向量的求法 𝐴𝛼 = 𝜆𝛼 𝜆𝐸 − 𝐴 𝛼 = 0 𝜆𝐸 − 𝐴 𝑋 = 0 有非零解 𝜆𝐸 − 𝐴 = 0 设𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 − 𝑎11 −𝑎21 ⋮ −𝑎𝑛1 −𝑎12 𝜆 − 𝑎22 ⋮ −𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ −𝑎1𝑛 −𝑎2𝑛 ⋮ −𝑎𝑛𝑛 定义2 称为矩阵𝐴的特征多项式
山求濯工大深 计算步豫： 1.计算A的特征多项式几E-A; 2.特征多项式的所有的根，即为矩阵A的所有的特征值.设互不相同 的特征值为1,2，.，几s(S≤n). 3. 对每一个入：(1≤i≤S),求对应的齐次线性方程组（几；E-A)X=0, 其基础解系1,2，.，t即为A的属于特征值入i的线性无关的 特征向量；k1i1+k25i2+.+kt5it(k1,k2,.,kt不全为零) 即为A的属于特征值几：的全部的特征向量；
1. 计算𝐴的特征多项式 𝜆𝐸 − 𝐴 ； 2. 特征多项式的所有的根，即为矩阵𝐴的所有的特征值. 3. 对每一个𝜆𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠)，求对应的齐次线性方程组 𝜆𝑖𝐸 − 𝐴 𝑋 = 0， 计算步骤： 其基础解系 𝜉𝑖1, 𝜉𝑖2, ⋯ , 𝜉𝑖𝑡 即为 𝐴 的属于特征值𝜆𝑖的线性无关的 特征向量； 𝑘1𝜉𝑖1 + 𝑘2𝜉𝑖2 + ⋯ + 𝑘𝑡𝜉𝑖𝑡 (𝑘1 , 𝑘2 , ⋯ , 𝑘𝑡不全为零) 即为 𝐴 的属于特征值𝜆𝑖的全部的特征向量； 设互不相同 的特征值为𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝑠 𝑠 ≤ 𝑛
山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1计算下列矩阵的特征值与特征向量 -1 4 )A= 4 2A= 02 0 204
例1 计算下列矩阵的特征值与特征向量 1) 𝐴 = −1 1 0 −4 3 0 1 0 2 2) 𝐴 = 4 0 2 0 6 0 2 0 4