1.函数的极限 定义设函数=(2)定义在z0的去心邻域 0--z0|<p内,如果有一确定的数4存在,对于 任意给定的≥>0,相应地必有一正数 8)(0<c8p,使得当0<z-z0k刑有 fzr-Ae, 则称为(z)当z趋向于z0时的极限,记作 lim f(z)=A >20 或记作当z-→>20时,f(z)A
12 1.函数的极限 定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域 0<|z-z0 |<r内, 如果有一确定的数A存在, 对于 任意给定的e>0, 相应地必有一正数 d(e)(0<dr), 使得当0<|z-z0 |<d时有 |f(z)-A|<e, 则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限, 记作 f z A z z = → lim ( ) 0 或记作当z→z0时, f(z)→A
这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的 充分小的δ域时,它的象点f(z)就落4的预先 给定的域中.应当注意,z趋向于z0的方式 是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要 趋向于同一常数A. f(2
13 这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的 充分小的d邻域时, 它的象点f(z)就落A的预先 给定的e邻域中. 应当注意, z趋向于z0的方式 是任意的, 无论以何种方式趋向于z0 , f(z)都要 趋向于同一常数A. x y O z0 d z O u v A e f(z)
极限示意
14 极限示意 x y O u v O
定理一设(z)=(xy)+i(xy,4=u0+ z0=x0+10, imf(z)=4的充分必要条件是 2→ lm u(x,y)=uo, lim v(x, y)=vo x->x0 x->x0 y=>Vo y=>Vo
15 定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0 , z0 =x0+iy0 , 则 lim ( , ) , lim ( , ) . lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v f z A y y x x y y x x z z = = = → → → → → 的充分必要条件是
证必要性 如果lmnf(z)=A,根据极限的定义有, 2→)2 任给>0,存在δ>0 当04(x+y)-(x+y0)kO时, (u+iv)(uo+evoke 即当0<(x-x)2+(y-y)2<)时, lu-uoka,v-vo ka 这就是说linu(x,y)=uo,limv(x,y)=V0 x→x x→>x y->yO →
16 证 必要性: lim ( , ) , lim ( , ) . | | ,| | 0 ( ) ( ) , | ( ) ( )| . 0 | ( ) ( )| , 0, 0, lim ( ) , , 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v u u v v x x y y u iv u iv x iy x iy f z A y y x x y y x x z z = = - - - + - + - + + - + = → → → → → 这就是说 即当 时 当 时 任给 存在 如果 根据极限的定义有 e e d e d e d