定理设(z)在圆环域R1--z0-R2内解析,则 f()=∑c1(z-z0) n=-00 其中 f() n=271(-我d,(m=0,±,+2,…) C为在圆环域内绕2x的任何一条闭曲线
12 定理 设f(z)在圆环域R1<|z-z0 |<R2内解析, 则 d . ( 0, 1, 2, ) ( ) ( ) 2π 1 ( ) ( ) 1 0 0 = - = = - + =- n z f i c f z c z z C n n n n n z z z 其中 C为在圆环域内绕z0的任何一条闭曲线
证]设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作 以z为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大 于K1的半径r,且使z在K1与K2之间 Ri K
13 [证] 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作 以z0为中心的正向圆周K1与K2 , K2的半径R大 于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间. z K1 z K2 z z0
由柯西积分公式得 f(z)= 2Ti L f(-1f( 2丌 ds 对第一个积分,在K2上,z在K2内2-20<1 0 和泰勒展开式一样,可以推得 1rf(5 2丌 d=∑ f() 2丌i m+r d5(z-zo 1= K 0
14 由柯西积分公式得 = + - - = - - - - - - = 0 1 0 0 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) 2π ( ) 1 2π 1 , , , , 1. ( ) 2π ( ) 1 2π 1 ( ) 2 2 2 1 n n K n K K K d z z z f i d z f i z z z K z K d z f i d z f i f z z z z z z z z z z z z z z z 和泰勒展开式一样 可以推得 对第一个积分 在 上 在 内
第二个积分 1(2d于在K2上,点 2I i z在K的外部5-<1因此 0 0 0 0 (z-z0) 1= 0
15 ( ) , ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 , 1. d . , ( ) 2π 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2 = - - + = - - - = - - - = - - - - - = - - - - - - n n n n n n K z z z z z z z z z z z z z z z z K K z f i z z z z z z z z z 在 的外部 因此 第二个积分 由于 在 上 点
112)d 2丌i =∑|1f/ ds(z-zo)+RN(z), a1|2i(2-z0)m 其中R(z)= -z0)"f() d 2丌i n=N 0 0 q !0<q< 0 0
16 , 0 1 | | d . ( ) ( ) ( ) 2π 1 ( ) d ( ) ( ), ( ) ( ) 2π 1 d ( ) 2π 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 - = - - = - - = - + - = - - = - - = - - + q z z r z z z q z z z f i R z z z R z z f i z f i K n N n n N N N n n K n K 令 则 其中 z z z z z z z z z z