例如级数 ∑2+∑ (a与b为复常数) n=0 b 中的负幂项级数∑=∑2当2< 即|za时收敛,而正幂项级数∑乙则当 z|b时收敛所以当|ab时原级数在 圆环域|akz<b收敛当|ab时原级数 处处发散
7 例如级数 . | | | | . | | | | | | | | . | | | | | | | | , 1, ( ) 0 1 1 1 0 处处发散 圆环域 收敛 当 时原级数 时收敛 所以当 时原级数在 即 时收敛 而正幂项级数 则当 中的负幂项级数 当 与 为复常数 a z b a b z b a b b z z a z a z a z a a b b z z a n n n n n n n n n n n n n n = + = = = = =
幂级数在收敛圆内的许多性质,级数(441)在 收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,级数 (44.1)在收敛域内其和函数是解析的,而且可 以逐项求积和逐项求导 现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能 够展开成级数?先看下例
8 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在 收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 级数 (4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的, 而且可 以逐项求积和逐项求导. 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能 够展开成级数?先看下例
函数f(z) 在z=0及z=1都不解析,但 (1-z) 在圆环域0<zk<1及0<z-1k内都是解析的 先研究0≮zk<啪的情形, f(z)= (1-z) X1-2 =-+1+z+z2+…+z+ 由此可见,f(z)在04zk是可以展开为级 数的
9 . , ( ) 0 | | 1 1 . 1 1 1 1 (1 ) 1 ( ) 0 | | 1 , 0 | | 1 0 | 1| 1 . 0 1 , (1 ) 1 ( ) 2 数的 由此可见 在 内是可以展开为级 先研究 的情形 在圆环域 及 内都是解析的 函数 在 及 都不解析 但 = + + + + + + - = + - = - = = - = f z z z z z z z z z z f z z z z z z z z f z n
其次,在圆环域:0<z-11内也可以展开为级数: f(z) (1-z)1-z1-(1-z) 1+(1-z)+(1-z)2+…+(1-z)+…] =(1-z)+1+(1-z)+(1-z) +(1-2)+
10 其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为级数: + - + = - + + - + - + + - + - + + - + - = - - - = - = - - 1 1 2 2 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) [1 (1 ) (1 ) (1 ) ] 1 1 1 (1 ) 1 1 1 (1 ) 1 ( ) n n z z z z z z z z z z z z f z
O X
11 O 1 x y