式(17-2)还可写成 k2 (17-13) k1+k2 上述串联弹簧系统的固有频率为 k,k2 §17-2计算固有频率的能量法 对于图17-1所示无阻尼振动系统,当系统作自由振动时,物块的运动规律为 Asin(@, 1+0) 速度为 dx Ao, cos(o, (+0 在瞬时t,物块的动能为 T=-mv2=-mA'o2 cos(o,t +0) 选平衡位置为零势能位置,系统的势能为 k(x+.,)-6]-mgx 因为koS=mg,所以势能为 V=kx2=-kA2sin2(o, (+0) 当物块处于平衡位置(振动中心)时,势能为零,动能最大,即 mo242 当物块处于距振动中心最远的位置时,动能为零,势能最大,即 无阻尼自由振动系统是保守系统,由机械能守恒定律有 max 对于质量弹簧系统,可得固有频率为 Vm 根据上述方法,可求出其它类型机械振动系统的固有频率。 例17-3图17-7所示系统中,圆柱体半径为r,质量为m,在水平面上滚而不滑
6 式（17-2）还可写成 1 2 1 2 k k k k keq + = （17-13） 上述串联弹簧系统的固有频率为 ( ) 1 2 1 2 m k k k k m keq n + ω = = §17-2 计算固有频率的能量法 对于图 17-1 所示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，物块的运动规律为 x = A (ω t + θ ) n sin 速度为 = = Aω ( ) ω t +θ t x v n n cos d d 在瞬时 t，物块的动能为 T = mv = mA ωn ( ) ωnt + θ 2 2 2 2 cos 2 1 2 1 选平衡位置为零势能位置，系统的势能为 V k[(x ) ] mg x = + s t − st − 2 2 2 1 δ δ 因为 k mg δ st = ，所以势能为 V = k x = kA ( ) ωnt + θ 2 2 2 sin 2 1 2 1 当物块处于平衡位置（振动中心）时，势能为零，动能最大，即 2 2 max 2 1 T = mωn A 当物块处于距振动中心最远的位置时，动能为零，势能最大，即 2 max 2 1 V = k A 无阻尼自由振动系统是保守系统，由机械能守恒定律有 Tmax =Vmax 对于质量弹簧系统，可得固有频率为 m k ωn = 根据上述方法，可求出其它类型机械振动系统的固有频率。 例 17-3 图 17-7 所示系统中，圆柱体半径为 r，质量为 m，在水平面上滚而不滑；
弹簧刚度系数为k。试求系统的固有圆频率。 解以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点,以圆柱圆心偏离原点的距离x为系统的 运动坐标。设系统作自由振动,坐标x的变化规律为 =Asin(o, t +0) 系统的动能为 T=-Ja 式中J为圆柱对圆心的转动惯量。系统的最大动能为 T==m02A2 系统的势能为 k 最大势能为 图17-7 根据机械能守恒定律,有 k mo 2k 得 V3. 例17-4用能量法计算例17-2题。 解以滑轮偏离其平衡位置的转角φ为系统的坐标。设系统作自由振动,振动规律为 P=Om, sin(o, t +0) 当系统在任意位置φ时,其动能为 3()+192( T==J09 Q1 pno 最大动能为 (P+2Q1+2Q2)
7 弹簧刚度系数为 k。试求系统的固有圆频率。 解 以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点，以圆柱圆心偏离原点的距离 x 为系统的 运动坐标。设系统作自由振动，坐标 x 的变化规律为 x = A (ω t + θ ) n sin 系统的动能为 T = Jω + mv = mx′ = mωn A ( ) ωnt + θ 2 2 2 2 2 2 cos 4 3 4 3 2 1 2 1 式中 J 为圆柱对圆心的转动惯量。系统的最大动能为 2 2 max 4 3 T = mωn A 系统的势能为 = = A ( ) ω t + θ k x k V n 2 2 2 sin 2 2 最大势能为 2 max 2 Ak V = 根据机械能守恒定律，有 Tmax =Vmax 即 2 2 2 4 2 3 A k mωn A = 得 m k n 3 2 ω = 例 17-4 用能量法计算例 17-2 题。 解 以滑轮偏离其平衡位置的转角ϕ 为系统的坐标。设系统作自由振动，振动规律为 ϕ =ϕ (ω t + θ ) m n sin 当系统在任意位置ϕ 时，其动能为 ( ) ( ) ϕ ω ( ) ω θ ϕ ϕ ϕ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = ′ + × ′ + × ′ P Q Q t g r r g Q r g Q T J m n n 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0 cos 2 1 2 2 1 2 1 2 1 最大动能为 ( ) 2 2 1 2 2 max 2 2 4 P Q Q m n g r T = + + ϕ ω o x k A x l0 图 17-7