22 第一章复数与复变函数 (3)的任一邻域含有异于而属于E的一个点： (4)z的任一邻域含有E的两个点： (5)可从E取出点列z1,之2，.，之n,.,而以2o为极限.即对任 给e>0,存在正整数N=N(e),使当n>N时，恒有 2n一20<e. 2.区域与若尔当(Jordan)曲线复变函数论的基础几 何概念之一是区域的概念 定义1.5具备下列性质的非空 点集D称为区域： (1)D为开集. (2)D中任意两点可用全在D 中的折线连接（图1.12） 定义1.6区域D加上它的边 边界点 界C称为闭域，记为 图1.12 D=D+C. 注意区域都是开的，不包含它的边界点. 例1.16试证：点集E的边界3E是闭集.即证 (aE)'CaE. ·证设z为aE的聚点.取x的任意e邻域N(z),则存在xo (≠z),使得N,(x)zo∈aE.在N(x)内能画出以o为心，充分小 半径的圆.这时由∈E可见，在此圆内属于E的点和不属于E 的点都存在.于是，在N(z)内属于E的点和不属于E的点都存 在，故z∈aE.因此aE是闭集. 应用关于复数z的不等式来表示z平面上的区域，有时是很 方便的 例1,17之平面上以原点为心，R为半径的圆（即圆形区域）： |x<R, 以及z平面上以原点为心，R为半径的闭圆（即圆形闭域）： |z≤R
§2.复平面上的点集 23 它们都以圆周=R为边界，且都是有界的 我们称 |z<1为单位圆； z=1为单位圆周 例1.18之平面上以实轴Imz=0为边界的两个无界区域是 上半x平面1m>0, 下半z平面Im<0. x平面上以虚轴Re之=0为边界的两个无界区域是 左半z平面Re<0, 右半之平面Re>0. 例1.19图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z平面的 部分，表为 z|>1, 1mz>0. y ULLLLLLLLLLLML1L1LLL111411111y mmm y=y LNWIAT 图1.13 图1.14 例1.20图1.14所示的带形区域表为 y<Im z<y2. 例1.21图1.15所示的同心圆环（即圆环形区域）表为 r<z<R. 我们定义有界集E的直径为 d(E)=sup(1-x1z∈E,z'∈E 复变函数的基础几何概念还有曲线。 定义1.7设x(t)及y(t)是实变数t的两个实函数，它们在
24 第一章复数与复变函数 图1.15 闭区间[a,]上连续，则由方程组 |x=x(t), (a≤t≤β)， ly=y(t) 或由复数方程 之=x(t)+iy(t)(a≤t≤B) (1.16) (简记为z=z(t)) 所决定的点集C,称为z平面上的一条连续曲线.式(1.16)称为C 的参数方程，(a)及z(β)分别称为C的起点和终点；对满足a<t <B,a≤t2≤8,4≠t2的4及t2,当z(i1)=z(t2)成立时，点z(t1)称 为此曲线C的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或若尔 当曲线；z(a)=()的简单曲线称为简单闭曲线 简单曲线是之平面上的一个有界闭集。 例如，线段、圆弧和抛物线弧段等都是简单曲线；圆周和椭圆 周等都是简单闭曲线. 定义1.8设连续弧AB的参数方程为 x=z(t)(a≤t≤3)， 任取实数列{tn}: a=b<h<t<<-=B, (1.17)
§2.复平面上的点集 25 并且考虑AB弧上对应的点列： 2=z(4,)(j=0,1,2,.,n); 将它们用一折线Q.连接起来，Q的长度 1,=之10，)-6)1. 如果对于所有的数列(1.17)，1n有上界，则AB弧称为可求长的 上确界L=sup I称为AB弧的长度. 定义1.9设简单（或简单闭）曲线C的参数方程为 x=x(t)+iy(t)(a≤t≤3)， 又在a≤t≤B上，x'(t)及y(t)存在、连续且不全为零①，则C称为 光滑（闭）②曲线. 光滑（闭）曲线C具有连续转动的切线 定义1.10由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐 段光滑曲线. 特别，简单折线是逐段光滑曲线。 逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线） 却不一定可求长 ·例1.22设简单曲线J的参数方程为 x=x(t)=t, y=y(t)= sin,t≠0时， (0≤t≤1)， 0, t=0时 1 1 显然A。 2x+受2x+受 B.(m0告为曲线J上的点，且 连接A.及B两点线段之长 ①这里设x'(a)及y'(a)为右导数：x'()及y'(为左导数. ②对于光滑闭曲线，除了(a)=(B)外，还必须有x'(a)=x'()及y(a)= y'（3
第一章复数与复变函数 1 1】2 1 12 A.B,= √2m+乏 2nπ 2mr+受 1 ≥ e+)x2+)x >2(m+1)元 因为∑是发散的，所以∑A,B也是发散的，从而知简单曲线 J是不可求长的. 我们容易看出，圆周z=R把之平面分为两个不相连接的☒ 域z<R和z>R.这个结果是下面所谓若尔当定理的特例. 定理1.1（若尔当定理）任一简单闭曲线C将之平面惟 地分成C,I(C)及E(C)三个点集（图1.16），它们具有如下性质： (1)彼此不交； (2)1(C)是一个有界区域（称为 大正方向 C的内部)： E(C) I(C) 负方向 (3)E(C)是一个无界区域（称为 C的外部)； (4)若简单折线P的一个端点属 于I(C),另一个端点属于E(C),则P 图1.16 必与C有交点. 此定理的证明①②虽有多种，但都包含若干拓扑学的知识和 术语，非简短篇幅所能说明，因此略去证明.不过这个定理的直观 意义是很清楚的. 沿着一条简单闭曲线C有两个相反的方向，其中一个方向 ①关于C为闭多边形的证明可参看：杨宗磬译.近代数学概观（第三册）.中华书 局出版，1951年.第37页. ②可参看：H.Tverberg.Jordan曲线定理的一个证明.原文见：Bull.London Math.Soc.1980(12),34~38.译文见：张南岳.数学通报，1982(12)，33~35