§1.复数 17 (2)因为 岸等 =1+z2+2Rez 1-3 所以 1w=1+:+2Re王 11- 例1.10设1及2是两个复数，试证 |x1+22=|x1|2+|x2|2+2Re(x1z2), 并应用此等式证明三角不等式(1.2). 证|a十2|2=(a十)(1十) =(31十22)（名1十2） =名1之1十2222十名122十2122 =z1|2+|2|2+12十12 =|al2+l2|2+2Re(12). 其次，由所证等式以及 Re(a12)≤|z12|=|al2l 就可导出三角不等式(1.2). 例1.11若|a<1,|b<1,试证 a-b <1. 1-ab 证两端平方，比较一b a-b 与1的大小，即比较|a一b2与 |1一ab|2的大小.由上例可知 |a-b2=|a2+lb|2-2Re(ab), |1-ab|2=1+|a2|b12-2Re(ab) 多 I=|1-ab12-|a-b12
·18 第一章复数与复变函数 =1+a2b12-a2-lb12 =(1-a2)(1-1b12). 由假设|a<1,b<1,则I>0,故得证. 6.复数在几何上的应用举例下面我们举例说明两方 面的问题：怎样用复数所适合的方程（或不等式）来刻画适合某种 几何条件的平面图形：怎样从复数所适合的方程（或不等式）来确 定平面图形的特征. (1)曲线的复数方程① 例1.12连接及2两点的线段的参数方程为 z=21十t(x2-1)(0≤1≤1). 过1及x2两点的直线（图1.9）的参数方程为 图1.9 2=十t(-1）（-0∞<1<十∞) 由此可知，三点x1,2,2共线的充要条件为 一=1(：为一非零实数). (m=）=o） 例1.13：平面上以原点为心，R为半径的圆周的方程为 lx=R(图1.10(a)). ①可参阅左立文，曲线的一种复变量方程.数学通报1985(4)：24一25
§1.复数 19 之平面上以。≠0为心，R为半径的圆周的方程为 |x-8o=R(图1.10(b). z平面上实轴的方程为Imz=0; 虚轴的方程为Re=0. y Ay (a) (b) 图1.10 注由本章习题（一）7,8,10可见，直线和圆周等平面曲线皆 可用多种形式给出其方程. (2)应用复数证明几何问题 例1.14求证：三个复数1，x2,x成为一个等边三角形的三 顶点的充要条件是它们适合等式 好十号十号=2十3名1十名1 证△123是等边三角形的充要条件为：向量12绕名1旋 转或一即得向量，也就是 2一21=(x2-1)e±学1， 即 一之=1 多
20 第一章复数与复变函数 -±停. 两端平方化简，即得 好十号十号=23十名1十12： 例1.15证明三角形的内角和等于π. 证设三角形的三个顶点分别为名，之2，；对应的三个顶角 分别为a,3,y(如图1.11).于是 图1.11 。=a加g名子， g=ag二， y=ag岛二 由于 4一刘.的一型.1一型=-1， 23一11一2222一8 根据公式(1.12)'， areangarg =arg(一1)十2kπ=π十2kπ(k为某个整数) 由假设0<a<π，0<B<π，0<y<π，所以 0<a+B+y<3x, 故必k=0,因而a十十Y=元
§2.复平面上的点集 21 §2.复平面上的点集 我们在上节中提到的复平面上的线段、直线和圆周等都是复 平面上的点集.今后，我们的研究对象一解析函数，其定义域和 值域都是复平面上的某个点集. 1,平面点集的几个基本概念 定义1.1由不等式|之一|<p所确定的平面点集（以后平 面点集均简称点集)，就是以为心，以ρ为半径的圆，称为点 的邻域，常记为N,();并称0<|之-<p为点的去心e 邻域，常记为N,(zo)一{o}.它们是复数列和复变函数极限论的 基础. 定义1.2考虑点集E.若平面上一点（不必属于E)的任 意邻域都有E的无穷多个点，则称x为E的聚点或极限点；若 属于E,但非E的聚点，则称为E的孤立点；若不属于E,又 非E的聚点，则称o为E的外点. 点集E的全部聚点所成集用E'表示， 定义1.3若点集E的每个聚点皆属于E,即E二E,则称E 为闭集；若点集E的点z有一邻域全含于E内，则称z为E的内 点；若点集E的点皆为内点，则称E为开集；若在点x的任意邻域 内，同时有属于点集E和不属于E的点，则称为E的边界点； 点集E的全部边界点所组成的点集称为E的边界， 点集E的边界常记成aE 点集E的孤立点必是E的边界点. 定义1.4若有正数M,对于点集E内的点x皆合|x≤M, 即若E全含于一圆之内，则称E为有界集，否则称E为无界集， 以下五种说法是彼此等价的： (1)o为E的聚点或极限点； (2)的任一邻域含有E的无穷多个点（不必属于E);