§2.复平面上的点集 27 是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左 方，即“反时针”方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方 向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向， 称为负方向（图1.16）. 在简单闭曲线C的内部I(C)无论怎样画简单闭曲线Γ，则 的内部I(T)必全含于I(C).这一性质的一般化，即是 定义1.11设D为复平面上的区域.若在D内无论怎样画 简单闭曲线，其内部仍全含于D,则称D为单连通区域；非单连通 的区域称为多连通区域 所含不止一个点的闭集E,如果不能划分为两个无公共点的 非空闭集，则称E为连续点集.空集与所含只有一个点的集，称为 退化连续点集， 若区域D的边界为一个连续点集（包括退化情形），则称D为 单连通区域（也就是所谓没有“洞”的区域，这个说法与前面关于单 连通区域的定义是等价的)；非单连通的区域称为多连通区域. 若区域D的边界是互不相交的两个、三个、.、n个连续点集， 则分别称D为二连通、三连通、.、n连通的区域 简单闭曲线C的内部I(C)就是单连通区域.我们在例1.17 至例1.20中所列举的区域也是单连通的.而例1.21所列举的圆 环形区域D:r<|z|<R(r≥0，R≤十∞)一它包括去心的圆 (r=0,R<十∞)、一个圆周的外部(r>0,R=+∞)、去掉原点的之 平面(r=0,R=十∞)三种特例一就不是单连通的，因为，如果 取T为圆周|z|=p(r<p<R),它的内部就不能全含于这个圆环 形区域内（请读者自己作图思考）.还因为它们的边界都是两个不 相交的连续点集，所以都是二连通的. 注若实数集不囿于上（下），则称“广义的数”十∞（一∞）为 它们的上（下）界，关于这些“广义的”数或“无穷的”数，我们有 -∞<十∞及-∞<a<十∞， 其中α是不论怎样的（有限的）实数
第一章复数与复变函数 符号十∞和一∞读作“正无穷”和“负无穷” §3.复变函数 1.复变函数的概念复变函数的定义，形式上和数学分 析中单元函数的定义一样，不过自变量和函数都取复数值（当然也 包括取实数值). 定义1.12设E为一复数集，若对E内每一复数x,有惟一 确定的复数地与之对应，则称在E上确定了一个单值函数0= f(z)(x∈E).如对E内每一复数，有几个或无穷多个u与之对 应，则称在E上确定了一个多值函数w=f()(x∈E).E称为函 数w=f(z)的定义域.对于E,w值的全体所成集M称为函数 w=f(x)的值域. 例1.23w=|z|,w=x,w=z2及 ws大1 z-1 (x≠1) 均为z的单值函数； w=2(z≠0，n≥2整数) 伞 w=Arg之(z≠0) 均为z的多值函数. 注今后如不特别声明，所提到的函数都指单值函数. 设w=f(z)是定义于点集E上的单值或多值函数，并令 z=x十iy,w=u+iw, 则u,o皆随x,y而确定，因而w=f(z)又常写成 w=u(x,y)十iw(x,y), (1.18) 其中u(x,y)及(x,y)是二元实函数， 如将z表为指数形式之=re”,函数w=f(x)又可表为 w=P(r,0)+iQ(r,0). 可见，单复变的复函数
§3.复变函数 29 w=f(z) (1.19 等价于两个相应的二元实函数 u=p(x,y),=(x,y) (1.20) 既然如此，究竟为什么我们还要去考虑一元复函数呢？实函 数不是更为人所熟知吗？如果一个复函数等价于一对实函数，那 么引进较不熟悉的复函数，其目的在哪里？ 如果两个实函数u与v是随意选定的，二者之间没有什么特 别联系，那么确实没有必要将它们结合起来作为一个复函数.然 而，在两个实函数是紧密相关的一些情况下，把两个关系式(1.20) 缩写成一个关系式(1.19)更为有利. 例1.24设函数=z2+2,当z=x+iy时，w可以写成 w=x2-y2+2十2xyi, 因而 u(x,y)=x2-y2+2,v(x,y)=2xy 当=re时，w又可以写成 w=r2(cos 20+i sin 20)+2, 因而 P(r,0)=r2cos20+2,Q(r,0)=r2sin20. 在数学分析中，我们常常把函数用几何图形表示出来，在研究 函数的性质时，这些几何图形给我们很多直观的帮助.现在，我们 就不能借助于同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示 复变函数.因由(1.18)式，f(x+iy)=u十io,要描出w=f(z)的图 形，必须采用四维空间，也就是(u,0,x,y)空间，为了避免这个困 难，我们取两张复平面，分别称为之平面和平面（在个别情形 下，为了方便，也可将它们叠成一张平面，如图1.8).注意到，在复 平面上不区分“点”和“数”，也不再区分“点集”和“数集”，我们把复 变函数理解为两个复平面上的点集间的对应（映射或变换），具体 地说，复变函数w=f(x)给出了从x平面上的点集E到w平面上 的点集F间的一个对应关系（图1.17）.与点z∈E对应的点w= (x)称为点x的像点，同时点z就称为点w=f(x)的原像.为了 方便，以后也不再区分函数、映射和变换
第一章复数与复变函数 y 2)平面 w)平面 w=f(z) F 图1.17 必须指出，像点的原像可能不只一点，例如心=x2,则z=士1 的像点均为w=1,因此w=1的原像是两个点z=士1. 定义1.13如对x平面上点集E的任一点之，有w平面上点 集F的点w,使得w=f(),则称w=f(z)把E变（映）入F(简记 为f(E)二F),或称w=f(z)是E到F的入变换. 定义1.14如果f(E)二F,且对F的任一点w,有E的点x, 使得w=f(z),则称w=f(z)把E变（映）成F(简记为f(E)= F),或称w=f(z)是E到F的满变换 对于满变换这种对应关系w=f(x),F就是w=∫(z)能取到 的所有值所构成的点集，它显然具有下列两条性质： (1)对于点集E中的每一点之，相应的点w=f(z)是点集F 中的一个点； (2)对于点集F中的每一点w,在E中至少有一个点x与之 对应，即满足w=f(x). 定义1.15若w=f(x)是点集E到F的满变换，且对F中 的每一点w,在E中有一个（或至少有两个）点与之相对应，则在F 上确定了一个单值（或多值）函数，记作x=f(w),它就称为函 数w=f(z)的反函数或称为变换w=f(z)的逆变换；若之= ∫(w)也是F到E的单值变换，则称w=f(x)是E到F的双方 单值变换或一一变换
§3.复变函数 31 从上述反函数的定义可以看出，对于任意的心∈F,有 w=f[f-1(w)], 且当反函数也是单值函数时，还有 z=f1[f(x)],z∈E. 上面映射这一概念的引入，对于复变函数论的进一步发展，特 别是在解析函数的几何理论方面起到重要作用，因为它给出了函 数的分析表示和几何表示的综合.这个综合是函数论发展的基础 和新问题不断出现的源泉之一，在物理学的许多领域有着重要的 应用. 例1.25设有函数w=x2,试问它把：平面上的下列曲线分 别变成地平面上的何种曲线？ (1)以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧； (2)倾角9=于的直线（可以看成两条射线argx=子及 arg之=元+号）： (3)双曲线x2-y2=4. 解设x=x+iy=r(cos0+isin0), w=u十iw=R(cosp十i sin c), 则 R=r2,p=20, 由此，(1)（如图1.18）当x的模为2，辐角由0变至2时，对应的w 的模为4，辐角由0变至π.故在心平面上的对应图形为：以原点 为心，4为半径，在u轴上方的半圆周. (2)领角=号的直线在0平面上对应的图形为射线g一号 (3)因w=x2=x2-y2+2xyi,故 u=x-y2, 所以之平面上的双曲线x2一y2=4在四平面上的像为直线u=4