12 第一章复数与复变函数 所以 1a=a川a.-e≠0、a.m Arg(a)=Arg十Argz, ArgArg s-Arg s. (1.12) 公式(1.10)的第一式说明，12所对应的向量是把1所对应 的向量的长度伸缩r2=|x2倍，然后再4) 旋转一个角度02=arg2得到的（图 /12 1.7).特别是，当2=1时，只需旋转 一个角度0，=arg2就行了.这就是说 以单位复数乘任何数，几何上相当于将 年858 此数所对应的向量旋转一个角度. 特别，z相当于将：所对应的向量 图1.7 O沿反时针方向旋转艺，这里i称为旋 转乘数.另外， arg(az)=arg z (a>). 注1在复平面上，一直线绕其上一定点旋转，可有两种旋转 方向，一种是“反时针”的，一种是“顺时针”的.按惯例，我们规定反 时针方向旋转的角度为正，顺时针方向旋转的角度为负 注2当把复数作为向量看待时，复数的乘法既不同于向量 的点积（或纯量积），也不同于向量的叉积（或向量积）. 上面关于辐角的两个等式(1.12)，两边各是无穷多个数（角 度)的数集.例如，设(1.12)第一个等式右边 Ag=+2mr. Arga={+2m. 则左边
§1.复数 13 Ag1=臣+2xa (1.12)的第一个等式意味着，在等式左边取出一个数值（相当于取 定一个k值)，等式右边也可以相应地分别找出m与n的值，使得 右边的和数等于左边之值；反过来，也对. 注意公式(l.l2)的Argx可以换成argz,但argz应理解 为辐角的某个特定值，不必是主值；若均理解为主值，则两端允许 相差2π的整倍数.即有 arg212?=arg21十argz2十2k1r, ag号=ag一ag4十2%：x, (1.12) 其中k,k2各表示某个适当整数，arg之表示主值. 例1.6对于复数a,3,若a8=0,则a,B至少有一个为零.试 证之. 证若a3=0,则必有a3=0,因而 la131=0. 由实数域中对应的结果知al,至少有一个为零.所以a,B至少 有一个为零. 4.复数的乘幂与方根作为乘积的特例，我们考虑非零 复数：的正整数次幂2”，它是n个相同因子的乘积.设z=re°，则 z"=r"eimo =r"(cos ne+i sin ne), 从而有 |x"|=|x", Arg z"=nArg z. 当r=1时，则得棣莫弗(De Moivre)公式 (cos 0+i sin 0)"=cos no+i sin n0. 求非零复数之的n次方根，相当于解二项方程 u=z(n≥2，整数) (1.13) 今记其根的总体为：，下面我们来求它们， 设x=re°，w=pe,则(1.13)变形为
14 第一章复数与复变函数 o"eins=re 从而得两个方程 p”=r,np=0+2kπ， 解出得 p=F(取算术根)，p=+2kx】 n 从而有 |引=✉T, Arg=Arg: n 因此之的n次方根为 u,=(版).=Fe =e.vre. (1.14) 这里k表面上可以取0，士1，士2，.，但实际上只要取k=0,1,., n一1就可得出(1.13)的总共n个不同的根.所以记号？与记号 (2).(k=0,1,2,.,n-1)是一致的， 现在，我们将(1.14)表为 w4=(F)4=e9·w, 其中=Fe片.为了在复数平面上表示反的不同值w,可由 依次绕原点旋转 9,28. 但当k取到n时，又与o重合了. 故非零复数？的n次方根共有n 个，它们沿中心在原点、半径为F (取算术根)的圆周均匀地分布着， 即它们是内接于该圆周的正n边形 的n个顶点（图1.8是n=6的 情形). 图1.8
81.复数 (1.14)中e普(k=0,1,2,.,n一1)为1的n个n次方根，通常 记为1，w,w2,.,w1(w=e语).从而≠0的n个n次方根为： 0,wo,w20,.,w-lo. 还有 1十w十w2+.十w-1=0,w"=1. 因为w为二项方程w=1之根，即 w”=1台(1-w)(1+w十w2+十w”-1)=0. 特别，当n=3时w=e=合+9，且有 03-1,1+w十w2=0. 例1.7求cos30及sin30用cos0与sin0表示的式子. 解由棣莫弗公式 cos 30+i sin 30=(cos 0+i sin 0)3 =cos30+3icos20·sin0-3cos0·sin20-isin30, 因此 cos 30=cos0-3cos 0.sin20=4cos30-3cos 0, sin 30=3cos20sin 0-sin30=3sin 6-4sin30. 例1.8计算-8. 解因一8=8(cosπ十isinπ)，故 8).=8ot9+isnt9到=012. 3 当k=0时，(-8)。=8(cos受+isin】 =2(}+g)=1+i: 当k=1时，(-8)1=2(cosx十i sin)=-2: 当k=2时，-8)，=2(os野+isin) =2cos青-isin) =1-√3i
16 第一章复数与复变函数 注在实数域内，规定一8的三次方根为一2，即规定一8= 一=一2.这时一8就只取上述三值之一的实值（一8） 5.共轭复数设x=x+iy,则z的共轭复数为之=x-iy 显然 =,Arg z=-Arg & (1.15) 这表明在复平面上，之与之两点关于实轴是对称点. 我们也容易验证下列公式： （1)(2)=,1士2=1土2： 2a=圆)套a0. （3)=,Reg=生，m= (4)设R(a,b,c,.)表示对于复数a,b,c,.的任一有理运 算：则 R(a,b,c,.)=R(a,b,c,.). 熟练、灵活地运用这些简单公式，对化简计算、解答问题都会 带来方便. 例1.9求复数 1十三（复数≠1） w一1一2 的实部、虚部和模 解(1)因为 w1+1-1 1一x2 =1-s:+2ilms 11-x2 所以