§1.复数 说，用复数及复变函数作工具是十分有效的，这正是由于复数可以 表示平面向量的缘故. 3.复数的模与辐角表示复数之的位置，也可以借助于 点z的极坐标r和0来确定（图1.1）.这里使原点与直角坐标系的 原点重合，极轴与正实轴重合 下面我们用向量Oz来表示复数之=x十iy,其中x,y顺次等于 沿x轴与y轴的分量.向量O的长度称为复数：的模或绝对 值，以符号引z或r表示，因而有 r=|z|=x+y2≥0， 且=0的充要条件是之=0. 这里引进的模的概念与对于实数的绝对值的概念是一致的， 由于复数z的模z是非负实数，所以能够比较大小.同样，复数的 实、虚部也能够比较大小 根据图1.1，我们有不等式 |x≤|zl,yl≤|xl,x≤|x+ly, -|x|≤Re≤|x,-z≤lmx≤|x|. (1.1) 根据图1.2，我们有不等式 +|≤1|+|x2 (1.2) (三角形两边之和大于第三边)， 它称为三角不等式 此外，根据图1.3，我们还有不等式 1川21|-|21川≤z1-21 (1.3) (三角形两边之差小于第三边) (1.2)及(1.3)中等号成立的几何意义是：复数1,2所表示的两 个向量共线且同向.即 1≠0,22≠0时，21=22(k>0). 用数学归纳法可得推广了的三角不等式
第一章复数与复变函数 |a1十2+.+xn≤x1|+|x2|+.+|x.(1.2) 由图1.3可见，1一2表示点与点2的距离，记为 d(x1,2)=1一x2. 两复数差的模的这个几何意义是非常重要的.它还可以借助解析 几何中两点间的距离公式用解析方法得出： |1-2|=|(x1十iy1)-(x2+iy2)| =√(x1-x2)+(0y-). 实轴正向到非零复数之=x十iy所对应的向量O间的夹角0合于 称为复数x的辐角(Argument),记为 0=Arg z. 我们知道，任一非零复数x有无穷多个辐角，今以arg之表示 其中的一个特定值，并称适合条件 一π<argz≤π (1.4) 的一个为Argx的主值，或称之为x的主辐角.于是 0=Arg之=argz十2kπ (1.5) (k=0,士1，士2，.). 注意当=0时，辐角无意义. 当arg2(:≠0)表：的主辐角时，它与反正切Arctan兰的主 值arctan兰有如下关系（图1.5，图l.6)(注意-元<arg≤π， -<arctan兰<)：
§1.复数 当x>0,y爱0； 当x=0,y>0; arg之= arctan￥+x,当x<0,y>0; (x≠0) , 当x=0,y<0. y 、z(xy) arg arctan- argz z(xy) 图1.5 图1.6 例1.2求Arg(2-2i)及Arg(-3+4i) 解Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ =-+2kx (k=0,士1，士2，.) Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ 4 =arctan3十x+2kr =(2+1Dx-arctan号
10 第一章复数与复变函数 (k=0,±1，±2，.). 例1.3已知流体在某点M的速度v=一1一i,求其大小和 方向. 解大小：=√2； 方向：argw=arctan}x=-8平 从直角坐标与极坐标的关系，我们可以用复数的模r与辐角日 来表示非零复数，即（由图1.1） z=r(cos 0+i sin 0). (1.6) 特别，当r=1时有 z=cos 0++i sin 0, 这种复数称为单位复数 我们引出熟知的欧拉公式： ei=cos 0i sin 0, (1.7) 并且容易验证 e9e4=ec4+4),】 2=ew (1.8) 利用公式(1.7)，就可以把(1.6)改写成 之=re9. (1.9) 也就是说，任一非零复数：总可以表成 eiar : (1.9) 这里的arg之不必取主值. 我们分别称(1.6)式及(1.9)（或(1.9）)式为非零复数x的三 角形式和指数形式，并称x=x十iy为复数x的代数形式.复数的 这三种表示法可以互相转换，以适应讨论不同问题时的需要，且使 用起来各有其便 例1.4 1+i=/2(cos +isin=2et;
§1.复数 11 i=1·(cos交+isin）=e; 1=1.(cos 0+i sin 0)=ei; -2=2(cosπ十isinπ)=2e； -3i=3cos(←受）+isim(-)]=3e. 还有e=-i,e=-1,e2m=1(k为整数). 例1.5将复数 1-cosp+i sin(0<p≤π) 化为指数形式。 解原式=2sin号+2isin号cos号 =2sin号[sin号+icos号】 =2sin号cos(登-号)+isin(径-号)] =2sin号c(传-)1 当之=x十iy≠0，记arg之=0（主值），则 tam号=平8o80,fes0x+V2+亏 sin 0 rsin 6 y 所以argz=0(主值)=2 arctan x+√x+y 对于名1=r1e,2=r2e8,则 x1=x2台r1=r2,0,=02(或01=02十2kπ，k为整数). 利用复数的指数形式作乘除法较简单.因由(1.8)可立得 名=ne9re=nrne+),】 (1.10)