2 引言 在复数域内考虑问题往往比较方便.例如，一元n次方程 aox十a1x"-1+.+十aa-1x十an=0(ao≠0)， 在复数域内恒有解，其中系数ao,a1,.,a,都是复数.这就是著名 的代数学基本定理，它用复变函数理论来证明，是非常简洁的，又 如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内，我们就可以定 义负数的对数 在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、 德国数学家黎曼(Riemann)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大 努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解 析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同 时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用 20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理 论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.致使 经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值 问题等有了新的发展和应用.并且，还开辟了一些新的分支，如复 变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解 析函数论和拟共形映射等.另外，在种种抽象空间的理论中，复变 函数还常常为我们提供新思想的模型. 复变函数研究的中心对象是所谓解析函数，因此，复变函数论 又称为解析函数论，简称函数论 复变函数是我国数学工作者从事研究最早也最有成效的数学 分支之一.我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面 做过许多重要的工作，不少成果均已达到当时的国际水平.而今， 在他们的热忱帮助下，我国许多中青年数学工作者，正在健康成 长，不少人已在数学的各个领域中作出了许多优异的成绩
第一章复数与复变函数 复变函数就是自变量为复数的函数.复变函数论是分析学的 一个分支，故又称复分析.我们研究的主要对象，是在某种意义下 可导的复变函数，通常称为解析函数.为建立这种解析函数的理论 基础，在这一章中，我们首先引入复数域与复平面的概念；其次引 入复平面上的点集、区域、若尔当曲线以及复变函数的极限与连续 等概念；最后，还要引入复球面与无穷远点的概念.这门学科的一 切讨论都是在复数范围内进行的. §1.复数 1.复数域形如 x=x十iy或之=x十yi 的数，称为复数，其中x和y是任意的实数，实数单位为1.i满足 =一1，称为虚数单位.电工学里是例外，在那里习惯用j表示，而 不是用i 实数x和y分别称为复数：的实部和虚部，常记为： x=Re z,y=Im z. 复数之=x1十iy及2=x2十iy2相等，是指它们的实部与实 部相等，虚部与虚部相等，即 x1+iy=x2十iy 必须且只须 x1=x2,y1=y2
4 第一章复数与复变函数 虚部为零的复数就可看作实数，即x十i·0=x:因此，全体实 数是全体复数的一部分.特别，0十i·0=0. 虚部不为零的复数称为虚数；实部为零且虚部不为零的复数 称为纯虚数」 复数x十iy和x一iy称为互为共轭复数，即x十iy是x一iy的 共轭复数，或x一iy是x十iy的共轭复数.复数z的共轭复数常记 为：，于是 x-iy=x十iy. 对于这样定义的复数，我们必须规定其运算方法.由于实数是 复数的特例，规定复数运算的一个基本要求是：复数运算的法则施 行于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，同时也要求复数 运算能够满足实数运算的一般定律， 复数的加（减）法可按实部与实部相加（减），虚部与虚部相加 (减).即复数1=x1十iy,2=x2十iy2相加（减）的法则是： 名±2=(x1士x2)十i(y土y2), 结果仍是复数.我们称复数1十2是复数与2的和，称复数 1一2是复数与x2的差 复数的加法遵守交换律与结合律，而且减法是加法的逆运算， 这些都很容易验证 两个复数之1=x1十iy1及2=x2十iy2相乘，可按多项式乘法 法则进行，只需将结果中的换成一1，即 122=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2), 结果仍是复数，我们称它为1与2的积 也易验证，复数的乘法遵守交换律与结合律，且遵守乘法对于 加法的分配律。 两个复数1=x1十iy1及2=x2十iy2相除（除数≠0）时，可先 把它写成分式的形式，然后分子分母同乘以分母的共轭复数，再进 行简化，即
§1.复数 =：十y业+i当x2一业 (2≠0)， 22 x号十y呢 x号+y 结果仍是复数，我们称它为，与2的商.这里除法是乘法的逆 运算. 全体复数并引进上述运算后就称为复数域，常用C表示.在 复数域内，我们熟知的一切代数恒等式，如 a2-b2=(a+b)(a-b), a3-b3=(a-b)(a2+ab+b) 等等，仍然成立.实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实 例.和实数域不同的是，在复数域中不能规定复数像实数那样的大 小关系.事实上，若有像实数那样的大小关系，由于非零实数的平 方大于零，而i≠0时，则应有>0，即一1>0，这是不可能的. 2.复平面一个复数z=x十iy本质上由一对有序实数 (x,y)惟一确定，(x,y)就称为复数 的实数对形式.于是能够建立平面上 全部的点和全体复数间的一一对应关 系.换句话说，我们可以借助于横坐标 为x、纵坐标为y的点来表示复数：= x+iy(图1.1). 由于x轴上的点对应着实数，故x 图1.1 轴称为实轴；y轴上的非原点的点对应 着纯虚数，故y轴称为虚轴.这样表示复数z:的平面称为复平面或 z平面.复平面也常用C表示. 引进了复平面之后，我们在“数”和“点”之间建立了联系.以后 在研究复变函数时，常可借助于几何直观，还可采用几何术语.这 也为复变函数应用于实际提供了条件，丰富了复变函数论的内容， 为了方便起见，今后我们不再区分“数”和“点”、“数集”和“点集”， 说到“点”可以指它所代表的“数”，说到“数”也可以指这个数代表 的“点”.例如，我们常说“点1十”，“顶点为1,2，的三角形
6 第一章复数与复变函数 等等 在复平面上，从原点到点之=x十y所引的向量与这个复数之 也构成一一对应关系（复数0对应着零向量），这种对应关系使复 数的加（减）法与向量的加（减）法之间保持一致 例如，设1=x1十iy1,2=x2十iy2,则 1十2=(x1+x2)+i(y十y2) 由图1.2可以看出，名+2所对应的向量，就是所对应的向量与 2所对应的向量的和向量. 又如，将1一x2表成名1十（一2），可以看出，名1一2所对应的 向量就是所对应的向量与（一2）所对应的向量的和向量，也就 是从2到x1的向量（图1.3）. y1+y2 图1.2 图1.3 例1.1考虑一条江面上的水在某时刻的流动.假定在江面 上取好一坐标系xOy,我们把江面上 任意一点P的速度v的两个分量记 y 为，与，则我们可以把速度向量v 写成复数（图1.4） v=v,十iyy D U 人们经过长期的摸索与研究发 现，对于很多的平面问题（如流体力 学与弹性力学中的平面问题等)来 图1.4