y=f(x) O 第四步:取极限令A=‖Ax‖=max{△x},则 k<isn 曲边梯形面积:S=lm∑f(5)x 极限存在与否,与分法T及点的选择无关
O x y a x1 xi−1 xi b y = f (x) 第四步：取极限 || || max{ }, 1 令 i 则 i n = x = x : lim ( ) . 1 0= → = n i i i S f x 曲边梯形面积 极限存在与否， 与分法T 及点 的选择无关. i
该过程告诉了我们求复杂平面图形面积的方法, 同时,也告知了平面图形面积的定义 解决曲边梯形面积的思想方法是: 分划一代替一求和一取极限 通常人们把这类方法所处理的问题的结果,即 这种极限值,称为函数f(x)在区间a,b]上的定积分
该过程告诉了我们求复杂平面图形面积的方法， 同时，也告知了平面图形面积的定义. 解决曲边梯形面积的思想方法是： 分划—代替—求和—取极限. 通常人们把这类方法所处理的问题的结果，即 这种极限值，称为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分
定积分的定义 设函数f(x)在a,b上有定义,且有界 任意引入分点 X1 将区间[a,b分成n个小区间[x1,x](=1,2,…n 用Ax=x1-x1表示第个小区间的长度.∨E∈[Ex1,x] 若im∑f()Ax存在,且该极限值与对区间[ab1的 分法T及点的选择无关则称函数f(x)在[a,b]上可积 记为f(x)∈R([a,b]),极限值称为f(x)在[a,b上的定 积分值:了(xx=m>/(Ax(x=m△x
二. 定积分的定义 设函数 f (x) 在[a,b]上有定义, 且有界. , a = x0 x1 xi−1 xi xn−1 xn = b 任意引入分点 [ , ] [ , ] ( 1,2, , ). 1 a b n x x i n 将区间 分成 个小区间 i− i = . [ , ], i i i 1 i i 1 i x x x i x x 用 = − − 表示第 个小区间的长度 − lim ( ) , [ , ] 1 | | | | 0 若 f x 存在 且该极限值与对区间 a b 的 n i i i x = → 分法T 及点 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b]上可积, i 记为 f (x) R([a, b]), 极限值称为f (x) 在 [a, b] 上的定 : ( )d lim ( ) (|| || max{ }). 1 1 | | | | 0 i i n n i i i b a x f x x = f x x = x = 积分值 →
定积分符号 f(x)dx=lm∑f()Ax 定积分号;a一积分下限;b一积分上限: f(x)dx—被积表达式;f(x)被积函数; dx中的x—积分变量;[a,b]一积分区间 (积分变量的取值范围)
定积分符号： ( )d lim ( ) . 1 || || 0= → = n i i i x b a f x x f x —定积分号； b a a—积分下限；b—积分上限； f (x)d x—被积表达式； f (x)—被积函数； d x中的x—积分变量； [a,b]—积分区间. (积分变量的取值范围)
关于定积分定义的几点说明 ()定积分(x)dx是一个极限值(具体的数) 它与分法T及点的选择无关只与f(x)及 区间[a,b有关 (2)定积分与积分变量的记号无关: f(x)dx=l f()dy=lf(t)dt
关于定积分定义的几点说明 [ , ] . T , ( ) (1) ( )d ( ), 区间 有关 它与分法 及点 的选择无关 只与 及 定积分 是一个极限值 具体的数 a b f x f x x i b a ( )d ( )d ( )d . (2) = = = b a b a b a f x x f y y f t t 定积分与积分变量的记号无关：