这里,C{)= (-1) t…(t-i+1)(t-i-1)(t-n)lt i!(n-)!0 与被积函数以及积分区间均无关,称为柯特斯系数。 公式:35点 Sf(r)dxx(b-a2cimf(a+i]) 称为牛顿一柯特斯公式。 它是插值型公式,所以至少有n次代数精度 16
16 这里， ( ) 0 ( 1) ( 1)( 1)...( ) !( )! n i n n C t t i t i t n dt i n i n i − − = − + − − − − 与被积函数以及积分区间均无关，称为柯特斯系数。 公式： ( ) ( ) ( ) 0 ( ) f x dx b a C f a i h b a n i n − i + = 称为牛顿—柯特斯公式。 它是插值型公式，所以至少有n次代数精度
常用的柯特斯系数: ),k=1,2…,n l21/2 2164616 l83/83/818 4|7090320129032/90790 5|192875288502885/2887528819288 17
17 常用的柯特斯系数： n ( ) , 1,2, , n C k n k = 1 1 2 1 2 2 1 6 4 6 1 6 3 1 8 3 8 3 8 1 8 4 7 90 32 90 12 90 32 90 7 90 5 19 288 75 288 50 288 50 288 75 288 19 288
柯特斯系数具有下列性质: 1.∑c=1:<>三A=b- 0 i=0 这是因为∑Cm=d=1 i=0 2.对称性:C{")=C{)。 18
18 1. ( ) 0 1 n n i i C = = ； 这是因为 1 0 0 1 ( ) n n i i C dx = = = 。 柯特斯系数具有下列性质： 2．对称性： ( ) (n) n i n Ci = C −
应用中必须考虑数值稳定性:设函数值计算产生误差 为:f(x)=f+,并记E=maxl|,则在牛顿一柯特斯公式计 算中:∑c(x)=∑c",误差是:c> ∑c()∑c=∑c∑C ) < 如果C≥0,则∑qf(x)-∑c"≤s, 1cm|> 这公式是数值稳定的。 2|C 19
19 应用中必须考虑数值稳定性：设函数值计算产生误差 为： f x f ( i i i ) = + ，并记 max = i ，则在牛顿—柯特斯公式计 算中： ( ) 0 0 n n n n i i i i i i C f x C f = = ( ) ( ) ，误差是： ( ) 0 0 0 0 n n n n n n n n i i i i i i i i i i i C f x C f C C = = = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 如果 ( ) 0 n Ci ，则 ( ) 0 0 n n n n i i i i i i C f x C f = = − ( ) ( ) ， 这公式是数值稳定的
注 在牛顿一柯特斯公式系列中,n≤7时,C≥0。模3 、々≥8开始岀现负系数,公式稳定性下降,一般不再使用
20 在牛顿——柯特斯公式系列中，n 7 时， ( ) 0 n Ci 。 n 8开始出现负系数，公式稳定性下降，一般不再使用。 注