则对f(x)=anx+an1xm+…+ax+an有 b ∫/(xk=(nx+anxm1+…+ax+a) x"dx x"x+…+axhk+a ∑4x+an24x+…+a∑4x+a∑4 i=0 ∑4(anx"+an …+ax2+a fix: ∑Af(x) 6
6 ( ) 1 1 1 0 ( ) b b m m m m a a f x dx a x a x a x a dx − = + + + + − 1 1 1 0 b b b b m m m m a a a a a x dx a x dx a xdx a dx − = + + + + + − 1 1 1 1 0 0 0 0 0 n n n n m m m i i m i i i i i i i i i a A x a A x a A x a A − − = = = = = + + + + ( ) 1 1 1 0 0 n m m i m i m i i i A a x a x a x a − − = = + + + + 0 ( ) n i i i A f x = = 。 则对 1 1 1 0 ( ) m m m m f x a x a x a x a − = + + + + − 有
x)=52,0 二、插值型求积公式 设a=x<x1<…<xn=b,称为区间[a,b]的一个分割。 以xn,x1…x为插值节点作插值多项式L(x),用∫L()k 近似(x)是一个自然的想法。由于: 245x]=2108x Ⅵ Ln(x)=∑1(x)f(x) i=0 ∫,∫(x)≈JL,(k=∑f(x)4(x)=∑4/(x)(2) 其中4=1(x) 7
7 二、 插值型求积公式 设 a = x0 x1 ... xn = b,称为区间a,b的一个分割。 以 x x xn , ,..., 0 1 为插值节点作插值多项式 L (x) n ，用 ( ) b n a L x dx 近似 ( ) b a f x dx 是一个自然的想法。由于： 0 ( ) ( ) ( ) n n i i i L x l x f x = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n b b b n i i a a a i f x dx L x dx f x l x dx = = ( ) 0 i n i Ai f x = = （2） 其中 A l x dx b a i i ( ) =
4=J1(x)x 定义2对于给定节点w,x,x,如果求积系数A(=01-,n) 由 =』m (x)de 式确定,则称此时的求积公式为插值型求积公式
8 定义 2 对于给定节点 x x xn , ,..., 0 1 ，如果求积系数 A (i 0,1,...,n) i = 由 ( ) b i i a A l x dx = 式确定，则称此时的求积公式为插值型求积公式。 ( ) (2) b i i a A l x dx =
定理1∫he()是插值型求积公式的充分必要 条件是它的代数精度m≥n 由上可见,这样构造的插值型求积公式具有如下特点: (1)复杂函数f(x)的积分可转化为多项式的积分。 (2)求积系数A只与积分区间及节点有关,而与被积函数 f(x)无关。因此,可以一次求出系数,多次使用
9 定理 1 是插值型求积公式的充分必要 条件是它的代数精度m n。 由上可见，这样构造的插值型求积公式具有如下特点： (1) 复杂函数 f (x) 的积分可转化为多项式的积分。 0 ( ) ( ) = n b i i a i f x dx A f x (2)求积系数 Ak 只与积分区间及节点有关，而与被积函数 f (x) 无关。因此，可以一次求出系数，多次使用
(3)n+1个节点的插值型求积公式至少具有m次代数精度。 实际上,如果f(x)是次数不大于n的多项式 认 b==(个三4对代 那么Ln(x)=f(x),所以(2)式准确成立. △ (4求积系数A之和∑A等于区间的长度b-a 因为n≥1,插值型求积公式(2)至少具有一次代数精度, ()这是零次多项式(2)精确成立,所以 ∑4=∑4(x)=J(xk=b=a i=0 10
10 (3) n+1 个节点的插值型求积公式至少具有 n 次代数精度。 实际上，如果 f x( ) 是次数不大于 n 的多项式， 那么 L x f x n ( ) = ( )，所以（2）式准确成立． (4)求积系数 Ak 之和 0 n i i A = 等于区间的长度b a- 。 因为 n 1 ，插值型求积公式（2）至少具有一次代数精度， 令 f x( ) =1，这是零次多项式，（2）精确成立，所以： ( ) 0 0 ( ) n n b i i i a i i A A f x f x dx b a = = = = = −