平面解析几何中两点x=(x,x2),y=(y1,y2)间的距离公式 x1-y1)2+(x2-y2) 启示我们可以按照这样的方式,在R"上定义“距离 定义11.1.1 Euclid空间R"中任意两点x=(x1,x2…,x)和y (1,y2,…,yn)间的距离定义为 x-y|=√(x1-y1)2+(x2-n2)2+…+(xn-yn)2 并称 <rx k=1 为x的 Euclid范数(简称范数)。 显然,x的范数x就是x到0的距离(即x的模长)
平面解析几何中两点 x =( , ) 1 2 x x ，y =( , ) 1 2 y y 间的距离公式 2 2 2 2 1 1 (x − y ) + (x − y ) 启示我们可以按照这样的方式，在 n R 上定义“距离”： 定义 11.1.1 Euclid 空间 n R 中任意两点 x =( , , , ) 1 2 n x x x 和 y =( , , , ) 1 2 n y y y 间的距离定义为 | x – y | = 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n n x − y + x − y ++ x − y ， 并称 x = x, x = = n k k x 1 2 为 x 的 Euclid 范数（简称范数）。 显然，x 的范数 x 就是 x 到 0 的距离（即 x 的模长）
定理11.1.1距离满足以下性质: (1)(正定性)|x-y|≥0,而x-y|=0当且仅当x=y (2)(对称性)|x-y|=|y-x|; (3)(三角不等式)|x-z|≤|x-y|+|y-z 证明略
定理 11.1.1 距离满足以下性质： (1) （正定性）| x – y | ≥ 0，而| x – y | = 0 当且仅当 x= y； (2) （对称性）| x – y | = | y – x | ； (3) （三角不等式）| x – z | ≤| x – y | + | y – z | 。 证明略
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念 定义11.1.2设a=(a1a2…an)∈R",δ>0,则点集 O(a)={x∈R"|kx-a<o} k∈R"√x1-a)2+(x2-a2)2+…+(xn-an)2< 称为点a的δ邻域,a称为这个邻域的中心,δ称为邻域的半径 特别地,O(a,δ)在R上就是开区间,在R2上是开圆盘,在R3上 则是开球
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。 定义 11.1.2 设 a =( , , , ) a1 a2 an n R ， 0 , 则点集 (a, ) = {x x − a } n O R = − + − + + − 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n x R x a x a x a 称为点 a 的 邻域，a 称为这个邻域的中心， 称为邻域的半径。 特别地， O(a, )在R 上就是开区间，在 2 R 上是开圆盘，在 3 R 上 则是开球
定义11.1.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的E>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 d<6(即xk∈O(a,)), 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 记为 lim xk=ao 个点列不收敛就称其发散
定义 11.1.3 设 { } xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n R ，对于 任意给定的 0，存在正整数 K ，使得当k K 时，成立 x − a k （即 x O(a,) k ）， 则称点列{ } xk 收敛，或点列{ } xk 收敛于 a，也称 a 为点列{ } xk 的极限。 记为 k→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散
定义11.1.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的E>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 d<6(即xk∈O(a,)), 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 记为 lim xk=ao 个点列不收敛就称其发散 记x=(x,x2…,x)(k=1,2,…),a=(a1,a2…,an),利用不等式 x-a≤|x-a|=、2(x-a)≤∑x-a,J=12,…,n 可以得到 定理11.1.2mxk=a的充分必要条件是mx=a1(i=1,2,…,m
记 ( , , , ) ( 1,2, ) xk = x1 k x2 k xn k k = ，a =( , , , ) a1 a2 an ，利用不等式 j k x j − a ≤ 2 1 | | ( ) n k k i i i x a = x a − = − ≤ x a j n n i i k i | |, 1,2, , 1 − = = 可以得到 定理 11.1.2 k→ lim xk = a 的充分必要条件是 lim x a (i 1,2, ,n) i k i k = = → 。 定义 11.1.3 设 { } xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n R ，对于 任意给定的 0，存在正整数 K ，使得当k K 时，成立 x − a k （即 x O(a,) k ）， 则称点列{ } xk 收敛，或点列{ } xk 收敛于 a，也称 a 为点列{ } xk 的极限。 记为 k→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散