陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第三章 线性方程组

r=n考察方程组的解的情况：1 °dr+1 ≠0 时，方程组(5)无解，从而(1)无解2 ° dr+1 =0 时，方程组(5)有解，从而(1)有解此时去掉“0=0”的方程分两种情况i）若r=n．这时阶梯形方程组为CuXi +Ci2X, +... +CinXn = dC22X2 +...+ C2nX,= d2(6)CnnXn = d,i=2,...,n.其中 Ci≠ 0,由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解

考察方程组的解的情况: 由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解． r n  (6) 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n c x c x c x d c x c x d c x d              i) 若 r n  ．这时阶梯形方程组为 其中 0, 2, , . ii c i n   ２° dr1  0 时，方程组(5)有解，从而(1)有解， 1 0 r d １°   时，方程组(5)无解，从而(1)无解． 此时去掉 “０＝０” 的方程分两种情况 ． ：

i）若r<n，这时阶梯形方程组可化为CX, + C12X2 +... + CirX, = d, - C1,r+1Xr+1 -Cinx,1C22X, +... + C2rX, = d, -C2,r+1Xr+1 C2nXn(7)Crx, =d.-Cr.r+1Xr+1Cxrn1其中 Ci±0,i= 2,...,r.此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解事实上，任意给xr+1,,x,一组值，由(7)就唯一地定出的xi，,x一组值

此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解. (7) 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x                             ii) 若 r n  ，这时阶梯形方程组可化为 其中 0, 2, , . ii c i r   事实上，任意给 x x r n 1 , , 一组值，由(7)就唯一 地定出的 x x 1 , , r 一组值．

一般地，我们可以把x，,x，通过 Xr+1,.,X,表示出来.这样一组表达式称为方程组(1)的一般解而xr+1,x称为一组自由未知量4：线性方程组消元法的矩阵表示不妨设线性方程组（1）的增广矩阵baulana12azn b,a21a22A=baras2Psn经过一系列初等行变换化成阶梯阵

1 称为一组自由未知量． , , r n x x 而  通过 1 , , r n x x 1  , , r 一般地，我们可以把 x x 表示出来．这样一组表达式称为方程组(1)的一般解， ４．线性方程组消元法的矩阵表示 不妨设线性方程组(1)的增广矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b            经过一系列初等行变换化成阶梯阵

d+10d,C22n2*+100dCrC,r+100000dr+0000000000000Ci ± 0,i= 2,..,r.其中1。dr+1±0时，方程组(1)无解2°dr+1=0 时，方程组(1)有解

11 12 1 1, 1 1 1 22 2 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn r r c c c c c d c c c c d c c c d d           其中 0, 2, , . ii c i r   1 0 r d １°   时，方程组 (1)无解． 1 0 r d ２°   时，方程组(1)有解

且方程组(1)与方程组(7)同解CuX, + Ci2X2 +... +CirX, = d, -C1,r+1Xr+1 -Cinx,1C22X, + ... + C2rX, = d, -C2,r+1Xr+1C2nXn(7)Crx, =d,-Cr,r+1Xr+1 -Cxrn所以，当 r=n 时，方程组(1)有唯一解;当 r<n 时，方程组(1)有无穷多解（这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出。）

且方程组(1)与方程组(7)同解 (7) 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x                             当 r n  时 ，方程组(1)有无穷多解． 所以，当 r n  时，方程组(1)有唯一解； （ 这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解， 都可以通过它的增广矩阵看出。）