陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第三章 线性方程组

aiic +a2C2 +... +ainC, = ba2ij +a2C, +...+a2nCn = b,asiCj +asC, +...+asnc, =b,于是有(ai1 + ka21)C +(a12 + ka22)c2 +... +(ain + ka2n)cn=(aiCi +ai2C, +...+aincn)+k(a21C +a22C2 +...+a2ncn)= b, + kb,所以（C,C2,Cn)也是方程组（1'）的解同理可证的（1'）任一解也是（1）的解故方程组（1：）与（1）是同解的

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b                  11 21 1 12 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n n a ka c a ka c a ka c       11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 ( ) ( ) n n n n         a c a c a c k a c a c a c 1 2   b kb 所以 也是方程组（1'）的解. 1 2 ( , , , ) n c c c 于是有 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解. 故方程组（1 ' ）与（1）是同解的

3.利用初等变换解一般线性方程组（化阶梯方程组）ax +ai2X2 +... +ainxn = bi-a21Xj +a22X2 + ...+a2nxn = b2(1)asixi +asx, +...+asnx, =b先检查(1)中x,的系数，若a11,21,s全为零则x没有任何限制，即xi可取任意值，从而方程组(1)可以看作是x2,,x,的方程组来解

3．利用初等变换解一般线性方程组 （化阶梯方程组） 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                  先检查(1)中 x1 的系数，若 a a a 11 21 1 , , , s 全为零， 则 x1 没有任何限制，即 x1 可取任意值，从而方程组 (1)可以看作是 x x 2 , , n 的方程组来解．

如果x的系数不全为零，不妨设，≠0.dil的倍加到第个方程(i=2,s)分别把第一个方程al于是(1)就变成+ainx,=baux +ax +:ax, ...+ anx, - b?(3)s2x, +..+a'snx, =b'其中 j=aj-·j,i=2,...,s, j=2,...,n

如果 x1 的系数不全为零，不妨设， 11 a  0. 分别把第一个方程 1 的倍加 到第i个方程 ． 11 i a a  ( 2, , ) i s  (3) 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 2 2 n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b                      于是(1)就变成 其中 1 11 1 , 2, , , 2, , . i a ij ij j a a a a i s j n      

2nXn=ba'再考虑方程组(4)+a.x,=b'-显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。而(1)与(3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当(4)有解对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去最后就得到一个阶梯形方程组

再考虑方程组 (4) 22 2 2 2 2 2 n n s sn n s a x a x b a x a x b                  即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。 (3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当 (4)有解． 对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去， 最后就得到一个阶梯形方程组. 的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。 显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3) 而(1)与

为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为CuX, +Ci2X2 +...+Cirx, +...+Cinx, =dC22X2 +...+C2rX, +.. +C2nx, = d,Crx,+..+cmx,=d,(5)0"= dr+10=00=0其中C±0,i=2,..,r.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现也可能出现，这时去掉它们不影响(5)的解而且(1)与(5)是同解的

这时去掉它们不影响(5)的解． (5) 11 1 12 2 1 1 1 22 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d                            其中 0, 2, , . ii c i r   方程组(5)中的“０＝０”这样一些恒等式可能不出现 而且(1)与(5)是同解的． 也可能出现， 为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为