定义3对a,b的n等分点 x=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,2, 插值型求积公式 b f(x)dx≈(b-a∑cmf(x)(2.1) k=0 称为m阶 Newton-Cotes公式,其中c称为 Cotes系数 、公式的导出 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
21 上一页 下一页 一、公式的导出 定义 3 对[a,b]的n等分点 x a kh, h (b a)/ n, k = + = − k = 0,1,2, ,n = − b a n k k n f x dx b a ck f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) （2.1） 称为n阶Newton-Cotes公式， 插值型求积公式 (n) k 其中 c 称为Cotes系数
取[a,b的等距剖分点为求积节点 △:a=x<x1<…<xn=b,xk=a+h,h=(b-a)/m, 改写∫f(x)d∑4f(x)为 ∫"f(x)(b-a2(x.,4=(b-a b (b-a=4="(xk=I (x-x d x i≠k → Cotes系数ck Ak b 010(k-) 与a,b无关! i≠k copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
22 上一页 下一页 x a kh, h (b a)/ n, : , k = + = − a = x0 x1 x n = b = b a n k k xk f x dx A f 0 ( ) ( ) 取[a,b]的等距剖分点为求积节点： 改写 Cotes系数 b a c A l x dx b a k k n k ( ) ( ) ( ) − = = dx x x x x n i k i k i i b a = − − = 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 ( ) ( ) n n n k k i i k A t i c dt b a n k i = = − = = − − 与 a, b 无关！ ( ) ( ) ( ), 0 ( ) = − b a n k k n f x dx b a ck f x ( ) ( ) n k k A = b − a c 为：
n阶Nmn:C公式(x)(b-)∑f(x的系数 k=0 n|c),k=0,1,2,…,n 2 1223 187 38 31 88 162167 9045154590 192525252519 5 2889614414496288 4199349941 8403528010528035840 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
23 上一页 下一页 n阶Newton-Cotes公式 = − b a n k k n f x dx b a ck f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 的系数 n c k n n k 0,1,2, , ( ) ， = 2 1 2 1 6 1 3 2 6 1 8 1 8 3 8 3 8 1 90 7 45 16 15 2 45 16 90 7 288 19 96 25 144 25 144 25 96 25 288 19 840 41 35 9 280 9 105 34 280 9 35 9 840 41 6 5 4 3 2 1
1阶 Newton- Cotes.公式: b b f(xae 2 If(a)+f(bI 即梯形求积公式。 2阶 Newton- Cotes公式: b f(a)+/ a+b f(x)du 2 +∫(b) 称为辛甫生( Simpson)求积公式。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
24 上一页 下一页 1阶Newton-Cotes公式： 即梯形求积公式。 2阶Newton-Cotes公式： 称为辛甫生(Simpson)求积公式。 [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + − + + + − b a f b a b f a f b a f x dx ( )] 2 [ ( ) 4 6 ( )
误差分析 记 Newton- Cotes公式的误差为 E()=Jf(x)dx-∑4(x) 则:E,()=Jf(x)d-∑f(x),(x If(x)-p,(x)dx 其中pn(x)为f(x)的n次插值多项式。 (n+1) →f(x)-Pn(x) ( ∏I(x-x) n →E( (4) (n+1) I(x-x dx, 5∈ 且依赖于x copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
25 上一页 下一页 二、误差分析 = = − b a n i n i xi E f f x dx A f 0 ( ) ( ) ( ) = = − b a b a i n i E n ( f ) f (x)dx f (xi ) l (x)dx 0 = − b a n [ f (x) p (x)]dx 记Newton-Cotes公式的误差为： 则： 其中 且依赖于x。 p ( x) n f (x) = + − + − = n i i n n x x n f f x p x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( )] , ( 1)! ( ) ( ) [ 0 ( 1) = + − + = b a n i i n n x x dx n f E f (a,b) 为 的n次插值多项式。