例1一平面曲线上任一点的切线垂直于该点与原点的连线, 即其上任意一点的法线通过原点,试建立该曲线满足的方程 式;又若已知该曲线过点(1,2),求出该曲线方程。 解设所求曲线为y=y(x),其上任一点p(x,y)处的切线斜率 为y,而点p与原点的连线的斜率为,由题意应有 即 dyy dx 这就是所求曲线应满足的方程,它包含自变量x,未知函数 y及未知函数的导数 为求解方程(1.1),将(1.1)变形为 yy'=-x或(y2)=-(x2) 将(12)式两边积分得 x2+y2=C(C为任意常数) (1.3) 又已知曲线过点(1,2),即当x=1时y=2,代入(1,3)式得1+4=C, 于是所求曲线方程为 x+ 例2某缉私艇雷达发现距c海里处有一艘走私船正以匀速 度a沿直线行驶,缉私舰立即以最大的速度b追赶。若用雷 达进行跟踪,保持船的瞬时速度方向始终指向走私船,试求 缉私舰的追逐路线和追上时间
例 1 一平面曲线上任一点的切线垂直于该点与原点的连线， 即其上任意一点的法线通过原点，试建立该曲线满足的方程 式；又若已知该曲线过点(1,2)，求出该曲线方程。 解 设所求曲线为 y y x = ( ),其上任一点 p x y ( , ) 处的切线斜率 为 y ' ，而点 p 与原点的连线的斜率为 y x ，由题意应有 ' 1 y y x = − 即 dy y dx x = − (1.1) 这就是所求曲线应满足的方程，它包含自变量 x，未知函数 y 及未知函数的导数 dy dx 。 为求解方程(1.1)，将(1.1)变形为 2 2 yy x y x ' ' ( )' = − = − 或 ( ) (1.2) 将(1.2)式两边积分得 2 2 x y C C + = ( ) 为任意常数 . (1.3) 又已知曲线过点(1,2),即当 x=1 时 y=2,代入(1.3) 式得 1+4=C， 于是所求曲线方程为 2 2 x y + = 5 . 例 2 某缉私艇雷达发现距 c 海里处有一艘走私船正以匀速 度 a 沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度 b 追赶。若用雷 达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求 缉私舰的追逐路线和追上时间
解如图所示, D(r,y) 选取走私船逃跑的方向为y轴,缉私舰在(co)位置时发现走 私船在(0,0)处,显然缉私舰、走私船的大小比它们运动的范 围小得多,可视为两个质点,设时间从缉私舰发现走私船时 算起,在时刻t,走私船到达点,缉私船到D(x,y),因直线 DR与路线相切,由几何关系有 y-at dx tan d= 或 dy (14) 为消去t,先把(14)对ⅹ求数得 (1.5) dsb,从而 又 dx ds dx btid (16) 这里有负号是因为s随着x的减小而增大,结合(1.5)与(1.6) 得到追击路线的微分方程
解 如图所示， 选取走私船逃跑的方向为 y 轴，缉私舰在(c,o)位置时发现走 私船在(0,0)处，显然缉私舰、走私船的大小比它们运动的范 围小得多，可视为两个质点，设时间从缉私舰发现走私船时 算起，在时刻 t，走私船到达点，缉私船到 D(x,y)，因直线 DR 与路线相切，由几何关系有 tan dy y at dx x − = = 或 dy x y at dx = = − （1.4） 为消去 t，先把（1.4）对 x 求数得 2 2 d y dt x a dx dx = − （1.5） 又 ds b dt = ，从而 1 2 1 ( ) dt dt ds dy dx ds dx b dx = = − + （1.6） 这里有负号是因为 s 随着 x 的减小而增大，结合（1.5）与（1.6） 得到追击路线的微分方程
k,|+ 其中k=,而且还知曲线方程y=y(x)满足条件 ()=0,y(c)=0 (18) 例3求解方程 解将方程变量分离,得到yy=xdx, 两边积分,得y 因而通解为y2-x2=C, 这里C为任意常数。或者解出y,写成显函数形式的解 ±√x2+C 例4求出=h-y2的通解。 解若1-y≠0,将原方程变量分离,得到 db dx 两边积分,得 arcsin y=x+C p y=sin(x+C) 这就是原方程的通解 此外,易验证y=±1也是原方程的解,但并未包含在通解中, 故应补上
2 2 2 2 2 1 ( ) d y d y x k dx dx = + （1.7） 其中 a k b = ，而且还知曲线方程 y y x = ( ) 满足条件 y c y c ( ) 0, '( ) 0 = = (1.8) 例 3 求解方程 dy x dx y = 解 将方程变量分离，得到 ydy xdx = ， 两边积分，得 2 1 2 2 2 2 x C y = + . 因而通解为 2 2 y x C − = ， 这里 C 为任意常数。或者解出 y，写成显函数形式的解 2 2 y x C = + . 例 4 求 2 1 dy y dx = − 的通解。 解 若 2 1 0 − y ，将原方程变量分离，得到 2 1 dy dx y = − ， 两边积分，得 arcsin y x C = + 或 y x C = + sin( ) . 这就是原方程的通解。 此外，易验证 y= 1 也是原方程的解，但并未包含在通解中， 故应补上
例5求解初值问题 y =y cos 解当y≠0时,将方程分离变量,得到 两边积分,得-=sinx+C 因而通解为 y sinx+o 这里C为任意常数。此外,方程还有解y=0 将初始条件:x=0,y=1代入通解中,得到C=-1,因而所求初值 问题的解为 y SInx 例6(生物总数的 Logistic方程)设某生物种群的总数y(t) 随时间t而变化,变化率与y和(my)的乘积成正比,求y(t) 的表达式 解由题设条件知y(t)满足微分方程 k 其中k>0为比例常数,将方程分离变量后得
例 5 求解初值问题 2 0 ' cos 1 x y y x y = = = 解 当 y 0 时，将方程分离变量，得到 2 cos dy xdx y = 两边积分，得 1 sin x C y − = + . 因而通解为 1 sin y x C = − + . 这里 C 为任意常数。此外，方程还有解 y = 0 . 将初始条件:x=0,y=1 代入通解中，得到 C=-1，因而所求初值 问题的解为 1 1 sin y x = − 。 例 6（生物总数的 Logistic 方程）设某生物种群的总数 y(t) 随时间 t 而变化，变化率与 y 和(m-y)的乘积成正比，求 y（t） 的表达式. 解 由题设条件知 y(t)满足微分方程 ( ) dy ky m y dt = − 其中 k 0 为比例常数，将方程分离变量后得
=kdt y(m-y 两端积分,得ny-mnm-yl=kt+ln 化简得 C y 从而可得通解为 1+C 对通解的表达式取极限得 im y(t)=m t→)+o 这时称y(t)是动态稳定的,称m为容纳量 例7解初值问题 y=2(1+ln2),y(1) 解令= 即y=ll,方程化为 u+x d1+In u) C 分离变量,得 u Inu x
( ) dy kdt y m y = − 两端积分，得 1 1 1 ln ln ln y m y kt C m m m − − = + 化简得 y mkt Ce m y = − 从而可得通解为 1 1 mkt m y C e − − = + 对通解的表达式取极限得 lim ( ) t y t m →+ = 这时称 y(t)是动态稳定的，称 m 为容纳量。 例 7 解初值问题 ' (1 ln ), (1) . y y y y e x x = + = 解 令 y u x = ，即 y xu = ，方程化为 (1 ln ). du u x u u dx + = + 分离变量，得 , ln du dx u u x =