其系数行列式为范德蒙行列式 0 II(x-x)≠0 Osi< isn n n n n 0 (2)有唯一解{A}。显然,以此组{4}构成的 (1)对所有次数≤n的多项式都是精确的. copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
16 上一页 下一页 其系数行列式为范德蒙行列式 { } （2）有唯一解 Ak 。 {Ak } 构成的 （1）对所有次数 n 的多项式都是精确的. 显然，以此组 n n n n n n n x x x x x x x x x x x x V 0 1 2 2 2 2 2 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 = = − i j n xj xi 0 ( ) 0
、插值型求积公式 求积公式:(x)≈∑4f(x)() k=0 求{A}的方法: 将对应于节点x,i=0,,n,的n次插值多项式基函数 (x)=2 i=0,1,2,…,n (3) j=0 xi-x 代入(1),得:∫1(x)=∑41(x)=A(4) 定义:若(1)中的{A}满足(3)、(4),则称求积公式(1) 为插值型的。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
17 上一页 下一页 三、插值型求积公式 { } Ak x , i 0,1,...,n, i = 定义：若（1）中的 满足（3）、（4），则称求积公式（1） 为插值型的。{ } Ak = b a n k k xk f x dx A f 0 求积公式： ( ) ( ) （1） 求 （4） 将对应于节点 k b a n j l k x dx = Aj l k xj = A =0 代入（1），得： ( ) ( ) （3） 的方法： = = − − = n j i j i j j i i n x x x x l x 0 ( ) , 0,1,2,, 的n次插值多项式基函数
b ∫(x)ds∑4f(xk (1) k=0 定理2形如(1)的求积公式至少具有n次代数精度 的充要条件是,它是插值型的 证明必要性:因求积公式对形如(3)的m次多项式 l4(x)精确成立 ∫(x)d=∑4(x) 注意到基函数性质 0,当k≠时, lA(x;)=8= 1,当k=i, 18 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
18 上一页 下一页 定理2 形如（1）的求积公式至少具有n次代数精度 的充要条件是，它是插值型的. = b a n k k xk f x dx A f 0 ( ) ( ) （1） l (x) k 证明 n次多项式 精确成立： 必要性：因求积公式对形如（3）的 = = b a n i k i k xi l x dx Al 0 ( ) ( ) 注意到基函数性质 k xi ki l ( ) = = = 1, , 0, , 当 时 当 时 k i k i
所以 ∫(x)d=∑4D=4 即{A}满足(4),从而(1)是插值型的 充分性:因对任何次数≤n的多项式f(x),它的以 {x}为插值节点的n次 Lagrange插值多项式 ∑f(x)(x)就是f(x),所以 f(x)k=∑f(x)J(x)d=∑4f(x) b k=0 从而(1)至少具有n次代数精度 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
19 上一页 下一页 ( ) . 0 = = = b a n i k x dx Ai k i Ak l 所以 { } 即 Ak 满足（4），从而（1）是插值型的. 充分性： 因对任何次数 n 的多项式 f (x)，它的以 { }k x 为插值节点的 n 次 Lagrange 插值多项式 = n k k k f x l x 0 ( ) ( )就是 f (x)， = = b a n k b a f x dx f xk l k x dx 0 ( ) ( ) ( ) 所以 从而（1）至少具有 n次代数精度. ( ). 0 = = n k k xk A f
§2 Newton- Cotes求积公式 、公式的导出 二、误差分析 、收敛性问题 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
20 上一页 下一页 §2 Newton-Cotes求积公式 一、公式的导出 二、 误差分析 三、收敛性问题