二、误差分析 对n阶 Newton- Cotes公式(2.1),记 ()=J(xk,、()=(b-a)/(x)(23) k=0 则误差为E,(f=I(f)-n(f) 假定∫(x)在[,b上足够光滑,则: 当n=1(即梯形公式)时,由带积分型余项的 Taylor公式,∫(x)=D1(x)+R(x),其中 , (x)=f(a)+(x-a)f'(a) b R:(x)=「(x-fot=「(x-1)f"(t copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
26 上一页 下一页 二、误差分析 ( ) = b a I f f (x)dx, 对n阶Newton-Cotes公式（2.1），记 ( ) （2.3） = = − n k k n I n f b a ck f x 0 ( ) ( ) ( ) E ( f ) I( f ) I ( f ). 则误差为 n = − n 假定 f (x) 在 [a,b] 上足够光滑，则： ( ) ( ) ( ), 1 1 f x = p x + R x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 p x = f a + x − a f a = − = − + b a x a R (x) (x t) f (t)dt (x t) f (t)dt. 1 当 n = 1 （即梯形公式）时，由带积分型余项的 Taylor公式， 其中:
这里引入了截断幂函数的记号 若若 x≥0, y<0 注意到(2.1)至少具有n次代数精度,所以E1(p1)=0 从而 E1(O)=E1(D1+R1) (24) =E1(1)+E1(R)=E(R, copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
27 上一页 下一页 这里引入了截断幂函数的记号 + = m x x , x 0, m 若 0, 若x 0, ( ) 0 E1 p1 = ( ) ( ) 1 1 1 R1 E f = E p + 注意到（2.1）至少具有 n次代数精度，所以 从而 （2.4） ( ) ( ) 1 1 E1 R1 = E p + ( ), = E1 R1
而E(R)=∫R(x b IR(O+R(b 2 be b b-a b (x-t) f(tdtd (b-t)f"(t) 2 ∫?ro∫:(x=0.-b,∫b=r (t-a)(t-b)f"(t)dt 即 E,()=K,(Of"(dt (25) 其中 K1()=(t-a)(t-b)/2 称为关于梯形公式的 Peano核 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
28 上一页 下一页 = b a E1 (R1 ) R1 (x)dx = − + b a b a (x t) f (t)dtdx − + = b a b a f (t) (x t) dxdt = − − b a (t a)(t b) f (t)dt 2 1 = b a E ( f ) K (t) f (t)dt 1 1 而 （2.5） 即 其中： ( ) ( )( )/ 2, K1 t = t − a t − b 称为关于梯形公式的Peano核. [ ( ) ( )] 2 1 1 R a R b b a + − − − − − b a b t f t dt b a ( ) ( ) 2 − − − b a b t f t dt b a ( ) ( ) 2
当n=2(即辛甫生公式)时,同理可记 f(x)=(x)+R(x),R(x)=(x-1)3f()dt 6Ja 从而E2()=E(R3).将R(x)代入,直接计算可得: E,0)=K,(o)f(t)dt (2.6) 其中: (t-a)3(3t-a-2b),a≤t≤ a+b K2()=72 (2.7) a+b (b-t)3(b+2a-3f), t≤b 72 2 称为关于辛甫生公式的 Peano核 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
29 上一页 下一页 ( ) ( ) ( ), 3 3 f x = p x + R x 当 n = 2 （即辛甫生公式）时，同理可记 = − x a R x (x t) f (t)dt 6 1 ( ) 3 (4) 3 ( ) ( ) 2 E2 R3 E f = ( ) R3 x = b a E ( f ) K (t) f (t)dt (4) 2 2 从而 . 将 代入，直接计算可得： （2.6） 其中： + − + − + − − − = t b a b b t b a t a b t a t a b a t K t 2 ( ) ( 2 3 ), 72 1 2 ( ) (3 2 ), 72 1 ( ) 3 3 2 （2.7） 称为关于辛甫生公式的Peano核
注意到(2.5)、(2.6)中 Peano核的保号性, 所以由积分中值定理有: E()=f(引)K1(l, E2(∫)=f“(5)K2()dt 对3≤n≤5的阶 Newton-Cotes公式可作同样的 讨论,最后可得如下误差(h=(b-a)/m) copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
30 上一页 下一页 注意到（2.5）、（2.6）中Peano核的保号性， = b a E ( f ) f ( ) K (t)dt, 1 1 = b a E ( f ) f ( ) K (t)dt 2 (4) 2 对 3 n 5 的 n 阶Newton-Cotes公式可作同样的 讨论，最后可得如下误差 (h = (b − a)/ n) ： 所以由积分中值定理有：