二、代数精度的概念 当求积节点个数给定后,怎样构造数值求积公式? ∫f(x)b≈∑4/(x),a≤x<x<…<x,≤b(1) 原则:恰当选取{x},{A},使得(1.1)的代数精 确度高。 定义1如果求积公式(1.1)对所有次数≤m的多 项式是精确的,但对m+1次多项式不精确,则称 (1.1)具有m次代数精度 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
11 上一页 下一页 二、代数精度的概念 ( ) ( ), 0 = b a n k k xk f x dx A f 原则：恰当选取 ， ，使得(1.1)的代数精 确度高。 { } xk { } Ak （1.1） 当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？ m m + 1 m 定义1 如果求积公式（1.1）对所有次数 项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称 次代数精度. 的多 （1.1）具有 . a x0 x1 x n b
欲使求积公式(1.1)具有m次代数精度,只要令 它对于f(x)=1,x,…,x"都能精确成立,这就要求 ∑4=b ∑ (15) ∑4x=,6-am 注:这里省略了符号∑中的上下标 k=0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
12 上一页 下一页 欲使求积公式（1.1）具有m次代数精度，只要令 都能精确成立，这就要求 中的上下标. 它对于 ( ) m f x = 1, x, , x A b a, k = − ( ), 2 1 2 2 Ak xk = b − a ( ). 2 1 +1 +1 = − m m m Ak x b a k （1.5） 注：这里省略了符号 = n k 0
如何构造求积公式? 模式一:给定节点,系数待定。y f(x) 例:构造梯形求积公式: ∫∫( b If(a+f(bl 2 方法:给定x=a,x1=b,令∫(x)≈4(x)+A(x) 对f(x)=1,x精确成立,则 b-4==4+420-0)o=a+b4 得到:A=A b 2 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
13 上一页 下一页 如何构造求积公式？ [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + − , , x0 = a x1 = b ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 f x dx A f x A f x b a + 模式一：给定节点，系数待定。 方法：给定 得到： 例：构造梯形求积公式： 令 − = b a b a dx − = b a (b a ) xdx 2 1 2 2 则 . 2 0 1 b a A A − = = 对 f (x) = 1, x 精确成立， , = A0 + A1 . = aA0 + bA1
模式二:节点、系数全待定 f() 例:构造中矩形求积公式: f(x)k≈(b-0x6 2 方法:令f(x)≈4f(x)对∫(x)=1,x精确成立 n川 b dx= Ao,5(b2-a2)=xdx=Ar 得到: atb b 注:梯形公式和中矩形公式都具有1次代数精度 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
14 上一页 下一页 模式二：节点、系数全待定 注：梯形公式和中矩形公式都具有1次代数精度 方法：令 得到： + − b a a b f x dx b a f ) 2 ( ) ( ) ( 例： 构造中矩形求积公式： , − = = 0 b a b a dx A b a f (x)dx A f (x ) 0 0 f (x) = 1, x ( ) . 2 1 0 0 2 2 − = = b a b a xdx A x A b a a b x = − + 0 = 0 , 2 对 精确成立 则：
考虑求积公式:∫(x)d≈∑4(x) 定理1:任给n+1个互异节点a≤x<x<…<x≤b, 总存在n+1个相应的求积系数{4},使 (1)至少具有n次代数精度 证明:令(1)对f(x)=x,i=0,2,…,n精确成立, 则得关于A}的线性代数方程组: ∑4x=∫x (b i+1 ,i=0,1,…,n(2) i+1 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
15 上一页 下一页 证明： (2) = b a n k k xk f x dx A f 0 考虑求积公式： ( ) ( ) 定理1： 任给 n+1 个互异节点 a x0 x1 xn b ， (1) { } Ak 总存在 n+1 个相应的求积系数 ，使 （1）至少具有n次代数精度. f x x i n i ( ) = , = 0,1,2, , = = n k b a i i Ak xk x dx 0 精确成立， { } 则得关于 Ak 的线性代数方程组： 令（1）对 b a i n i i i ( ), 0,1, , 1 1 1 − 1 = + = + +