例1.4设V是任一向量空间,考虑V的如 下变换 a|>0, 零变换简记为θ τ:a|>a.恒等变换简记为1 可以看出σ,τ是V的线性变换
例 1.4 设 V 是任一向量空间，考虑 V 的如 下变换： |→ 0, |→. 可以看出 ， 是 V 的线性变换. : : 零变换 简记为 恒等变换 简记为 l
命题1.1设是向量空间v的—个变换 σ为线性变换,当且仅当 0(k1a1+kx2a2)=ko(x1)+k(a2) 对任何a12a2∈V,k1,k2∈R成立
( ) ( ) ( ) σ 1 1 2 2 1 σ 1 2 σ 2 k +k = k +k 命题1.1 设 是向量空间 V 的一个变换， 为线性变换，当且仅当 对任何1 ,2 V，k1 ,k2 R成立
证:必要性的证明很显然,这里仅证充分性 根据定义,只需证(1),(2)式成立。 (1)取k1=k2=1 0(x1+a2)=0(a1)+(a2) (2)取k1=0,k2=k任意,有 (ka2)=0(0x1+ka2) =0(ax)+ko(a2)=ko(a2) 因此σ是线性变换
证：必要性的证明很显然，这里仅证充分性， 根据定义，只需证 (1)，(2) 式成立。 (1) 取 k1 = k2 = 1，则 ( ) ( ) ( ); σ 1 +2 =σ 1 +σ 2 (2) 取 k1 =0， k2 = k 任意，有 ( ) 2 σ k 因此 是线性变换。 0 ( ) ( ) σ 1 σ 2 = + k ( ). σ 2 = k (0 ) 1 2 =σ + k
§2线性变换的表示与运算 在向量空间,我们试图将每个线性变换用 组数具体地表示出来,这样,就使得n维向量空 间上的线性变换与n阶矩阵联系起来,进而使得 线性方程组的理论成为讨论有限维向量空间的线 性变换问题的有力代数方法,同时,线性变换和 矩阵一样具有相应的代数运算
在向量空间，我们试图将每个线性变换用一 组数具体地表示出来，这样，就使得 n 维向量空 间上的线性变换与 n 阶矩阵联系起来，进而使得 线性方程组的理论成为讨论有限维向量空间的线 性变换问题的有力代数方法，同时，线性变换和 矩阵一样具有相应的代数运算。 §2 线性变换的表示与运算
例2.1在二维空间中,绕原点的旋转变换 0: (,y)(xcosa-ysin a, x cos a+ ysin a), 其中σ(x,y)=(x,y)4, cos a -SIn a 0() sIn al 2=(x,y) 己2=(rcos6,rsn), o(S=(rcos(a +0), rsin(a+0))
x y o 例2.1 在二维空间中，绕原点的旋转变换： 其中 . A = ：(x, y) |→ (xcos − ysin, xcos + ysin)， σ ((x, y)) = (x, y)A' ， α = (x, y) σ() sin cos −sin cos θ 记 = (r cos,rsin ), σ ( ) = (r cos( + ),rsin( + ))