1)n阶循环群Cn群: 7=2,n1=n2=n,n=2,3 2条极点G轨道,每一条轨道上有一个点,则点群中所有转 动元素保持极点不变 转动轴阶数为n.转动轴与球面的两个交点各自组成一条G 轨道 →一个以固定n阶转动轴k生成的n阶循环群cn={CnCn2,…, Cn=E},Cn=CA(2π/n) 每个元素自成一类,共有n个类:{E},{Cn3,{Cn2,…,Cn-1 2)共有n个一维不可约不等价表示 分别由AP(Cn)=exp[(p-1)2πi/n],p=1,2,n生成 3)每一个表示的特征标为xPCn)=exp(p-1)2πmi/n]
1) n阶循环群Cn群: 2条极点G轨道, 每一条轨道上有一个点, 则点群中所有转 动元素保持极点不变. 转动轴阶数为n. 转动轴与球面的两个交点各自组成一条G 轨道. 一个以固定n阶转动轴k生成的n阶循环群cn ={Cn. Cn 2 ,…, Cn n=E}, Cn =Ck (2/n). l 2, n1 n2 n, n 2,3, 1) 每个元素自成一类, 共有n个类: {E}, {Cn}, {Cn 2}, …,{Cn n-1} 2) 共有n个一维不可约不等价表示. 分别由AP(Cn)=exp[(p-1)2i/n], p=1,2,…n生成. 3) 每一个表示的特征标为p(Cn m)=exp[(p-1) 2mi/n]
2)二面体群D群 7=3,n1=n2=2,n3=m,n=2m,m=2,3, 3条极点G轨道:第一条和第二条轨道上各有n/2)=m个点, 均对应于二阶轴,共有2(m/2)=m条;第三条轨道上有 n/m)=2个点,对应于一个m阶转动轴的两个极点 因为m阶转动轴的两个极点rm与(-rm)在同一条轨道上,故 对点群中任意元素g,使grm=rm或grm=-rm,因而所有m 个二阶轴与m阶转动轴垂直 →保持正多边形空间位置不变的有限转动群,称为二面体群 ={E,Cn,Cn,…,Cm,C2,C2,…,C{m)},Cn⊥C2 相邻二阶轴的夹角相等. m=奇数时,为2π/m;m=偶数时,为π/m 与m阶轴垂直的二阶轴将绕m阶轴的转动 元素与其逆转动通过相似变换联系起来
2) 二面体群Dm群: 3条极点G轨道: 第一条和第二条轨道上各有(n/2)=m个点, 均对应于二阶轴, 共有2(m/2)=m条; 第三条轨道上有 (n/m)=2个点, 对应于一个m阶转动轴的两个极点. 因为m阶转动轴的两个极点rm与(–rm)在同一条轨道上, 故 对点群中任意元素g, 使g rm = rm或g rm =–rm,因而所有m 个二阶轴与m阶转动轴垂直. 保持正多边形空间位置不变的有限转动群, 称为二面体群. l 3, n1 n2 2, n3 m, n 2m, m 2,3, ( ) 2 ( ) 2 (2) 2 (1) 2 2 1 { , , , , , , , , }, i m m m Dm E Cm Cm Cm C C C C C 相邻二阶轴的夹角相等. m=奇数时,为2/m; m=偶数时,为/m 与m阶轴垂直的二阶轴将绕m阶轴的转动 元素与其逆转动通过相似变换联系起来
m=奇数时 单位元素E自成一类;Cm和Cm成一类, k=1,2,,(m-1)/2; m个二阶轴为一类;共有(m+3)/2类 m=偶数时 单位元素E自成一类;Cm和Cm-成一类, k=1,2,(m-2)/2; Cmm/2自成一类;m个二阶轴分为两类 夹角为2丌/m的二阶轴各为一类; 共有m/2+3类
单位元素E自成一类; Cm k和Cm m-k成一类, k=1,2,…(m-1)/2; m个二阶轴为一类; 共有(m+3)/2类. m=奇数时 m=偶数时 单位元素E自成一类; Cm k和Cm m-k成一类, k=1,2,…(m-2)/2; Cm m/2自成一类; m个二阶轴分为两类: 夹角为2/m的二阶轴各为一类; 共有m/2+3类
D2群:由三个垂直的二阶轴生成 1)共分为4个类 E}2{C2},{ 2,{C(3) (2) {E,C2(1),{,C2),{,C2(3}均是D2的不变子群 D2是E,C2和{,C2(2}的直积群,D2=C2⑧C2 2)4个一维不可约不等价表示 2+S2+S3+S4 可由两个二阶循环群C2表示的直积给出
D2群: 由三个垂直的二阶轴生成 1) 共分为4个类 { }, { },{ }, { } (3) 2 (2) 2 (1) E C2 C C 2) 4个一维不可约不等价表示 4 2 4 2 3 2 2 2 S1 S S S {E,C2 (1)}, {E,C2 (2)}, {E,C2 (3)}均是D2的不变子群. D2是{E,C2 (1)}和{E,C2 (2)}的直积群, D2=C2C2 可由两个二阶循环群C2表示的直积给出
正方形对称群D4:1)共分为5个类 4 2 E},{C4,C4},{C4},{ },{2),C2} 2)5个不可约不等价表示S2+s2+S2+S2+S2=8 4个一维不可约不等价表示,一个二维表示 D4有三个三阶不变子群: E、C4,C2,C4},{E,C2,C2,C2},{E,C4,C2)C24 D4有到二阶循环群的三个同态,可得到D4的三个 维非恒等不可约不等价表示 EO 2A3c(1)(2)(3)c(4) 4:4:4252
正方形对称群D4 : 1) 共分为5个类 { }, { , }, { }, { , }, { , } (4) 2 (2) 2 (3) 2 (1) 2 2 4 3 E C4 C4 C C C C C 2) 5个不可约不等价表示 8 2 5 2 4 2 3 2 2 2 S1 S S S S 4个一维不可约不等价表示, 一个二维表示. D4有三个三阶不变子群: { , , , }, { , , , }, { , , , } (4) 2 (2) 2 2 4 (3) 2 (1) 2 2 4 3 4 2 E C4 C4 C E C C C E C C C D4有到二阶循环群的三个同态, 可得到D4的三个 一维非恒等不可约不等价表示 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , , , , , , , (4) 2 (3) 2 (2) 2 (1) 2 3 4 2 4 4 E C C C C C C C x y 1 3 2 4