三角形.当2-a2-62=0时，a+62=c，此时ABC是5故△ABC是等腰三角形或直角三角形例3也可借助正弦定理得到结论，请读者自行尝试例4如图9-1-8所示平面四边形ABCD中，已知B+D=180°，AB=2,BC=4/2，CD=4，AD=2/5，求四边形ABCD的面积.解连接点A，C，如图9-1-8所示在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理D可得图9-1-8AC2=AB2+BC2-2AB×BCcosBAC2=AD?+CD?-2AD XCDcosD.又因为B+D=180所以cosD=cos(180°-B）=-cosB，因此22+（4/2）-2×2×4/2cosB=（2/5）+42+2×2/5×4cosB解得cosB=O，因此cosD=O，则B=D=从而可知四边形的面积为1口×2×4/2+×4×2/5=4(/2+/5).例4说明，与平面多边形有关的问题，有时可以转化为三角形的问题来求解.在ABC中，求证：a=bcosC+ccosB例5证明如图9-1-9所示，CB-CA+AB,因此BCB.CB=(CA+AB)-CB-CA.CB+AB.CB图9-1-9又由图可知CB-a,CA.CB-bacosC,AB.CB-cacosB所以a?-bacosC+cacosB,即a=bcosC+ccosB.例5的结果也可用向量数量积的几何意义来解释，事实上，bcosC+CcOsB是CA，AB在CB上的投影的数量之和当然，由例5的方法同样可得b=acosC+ccosA,c-acosB+bcosA.利用这些结果也可推导出余弦定理，请读者自行尝试10第九章解三角形
拓展阅读泰九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国“三斜求积术”中的“三斜”指三角形宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”秦九韶是用语言叙（如图所示），其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幕，余半之，自乘于上：以2+a-622小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。新口1自类肉上日答E事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下1Aca'sinBS2=小4车福上一百步秋都驾+1针景佛大针影设中钟兼像牛之五小鲜(ca-cacosB).2锁4十又因为cacosB_十+a-58田楼，所以2侗轩-[eα-(++-")]S-十四月从而可知Hea-+)S-你能证明这个公式吗？练习A0已知△ABC，求证：（1）若a2十62=c，则C为直角：（2）若a2+62>c，则C为锐角；（3）若a2十62<c，则C为钝角.@已知△ABC中，a=-10,b-5C-120°，求c③已知△ABC中，a=6，b=4，c=2/7，求角C①已知△ABC中，a=3，b=2，c=/19，求角C以及三角形的面积在ABC中，已知a：bc=3：4：5，试判断这个三角形的形状.练习B①求证：在△ABC中，有a+62+c2-2(bccosA+accosB+abcosC).②已知△ABC中，a=2，c=/6，A=45，求b及角C.119.1正弦定理与余弦定理
3在ABC中，已知A：B=1：2.a：b-1：V3，求ABC的3个内角O在△ABC中，分别根据下列条件求c.(2)a=4,b=3,A=45°(1)a=4.b=2.A=60°DCEV27-3/3图60°等腰6190°服直角习题9-1A在△ABC中，已知acosA=bcosB，用正弦定理判断这个三角形的形状9?元在△ABC中，已知a+c=2b，A-C手，求sinB.25?知（sinA+sinB）：（sinA+sinC)：（sinB+sinC)=4：5：6，求ABC3?中最大的角C已知ABC中，A-60°，B=45°，a=3，求解这个三角形OO3O已知ABC的顶点为A(1，1)，B(m十4，m一4)，C(O，0)，且cosC=5O求常数m的值，O分别根据下列条件，判断ABC的形状6O(1)a"tanB-b’tanA;(2)a-b=c(cosB-cosA)OO习题9-1BOO已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=AD=4，1O求四边形ABCD的面积O已知△ABC中，AB-4/3，AC-2/3，AD为BC边上的中线，且BAD=2O30°，求BC的长，C已知三角形的两边和为4，其夹角为60°，求满足条件的三角形的最小周长，3Ob在△ABC中，已知acos A=cos B=cos C，判断这个三角形的形状并给出证明.0???在△ABC中，已知A=-2B，求证：a=2bcosB.O6已知ABC中，a=bcosC+csinB.O(1）求角B;O（2）若b-2，求ABC面积的最大值O12第九章解三角形
9. 2正弦定理与余弦定理的应用情境与问题在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形，例如，如图9-2-1所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由，图9-2-1图9-2-1中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？如图9-2-2所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量，用测量角度的仪器可以测量出ZACB的大小α，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量.图9-2-2图9-2-3如图9-2-3所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量，用测量角度的仪器测出ZBCD-β,ZBDC=，ZACD=0,ZADC=9然后，利用α，β，，，以及m即可求出AB的长，首先，在△BCD中，因为ZCBD=元一β一，所以由正弦定理可得BCmsin(-β-)sin139.2正弦定理与余弦定理的应用
msiny因此BCsin(β+，同理，从△ACD可得AC=，最后，在△ABC中，根据AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出AB的长例1如图9-2-4所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点.已知A，B，C，D4点都在水平面上，而且已经测得／ACB=45°/BCD=30ZCDA=45，ZBDA=130100m15°，CD=100m，求AB的长.解因为A，B，C，D4点都在水平图9-2-4面上，所以/BDC=/BDA十/CDA=15°+45°-60°因此ZCBD=180°-30°-60°=90°，所以在Rt△BCD中，BC-100cos30°=50/3（m).在△ACD中，因为ZCAD=180°-45-30°-45°60%，所以由正弦定理可知AC100sin45°sin60°因此AC-2m.在△ABC中，由余弦定理可知+(50/3)*2×100V6X50V3cos 45°_12 500AB2（100/6)332从而有AB=Bm.由例1可以看出，在用解三角形的知识解决实际问题时，常常需要综合利用正弦定理与余弦定理例2如图9-2-5所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动。如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径30°为1003km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响。如果图 9-2-5会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由。解如图9-2-6所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时AQ=100/3km.在△AQP中，有P-60°-30°-30°，且AP=300km，PQ=20zkm14第九章解三角形