ba解所以因为sinB，sin A12/3XV3bsinA2sin B=2.2a由于0<B<180°，所以B-图或B=0当B=60°时，有C-180°-A-B=180°-30°-60°=90此时ABC是直角三角形，且c为斜边，从而有c=Va2+6=V22+(2/3)=4;当B=120°时，有C=180°-A-B-180°-30°-120°-30°此时△ABC是等腰三角形，从而由等角对等边可知c=a-2.根据例2的解答可知，图9-1-4中的（1）（2）都满足例2的条件，事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致，BB2C2V32/3(1)(2)图9-1-4例3已知△ABC中，b-3/6，c=6，B=120，求A，C及三角形的面积。bcR解由sinC得sinB6+13N22sinC_csinB2b3/6由于0°<C<180°，所以C-日或C-6当C=45°时，A-180°-B-C-180°-120%-45°-15°而VV2V3+1V6-N2sin15°=sin（60°45)2+224所以三角形的面积为59.1正弦定理与余弦定理
V6-V227-9/31×3V6×6XSbcsinA422当C=135时，A=180°-B-C-180°-120°-135°=-75不合题意，应舍去。例3中的C-135°不可能成立，也可从b>c，B=120°以及“大边对大角”看出例4判断满足条件A-30°，a-1，c=4的△ABC是否存在，并说明理由.ac解假设满足条件的三角形存在，则由可知sinAsin Csin C_csinA_4sin 30°-2.1a又因为sinC<1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形例5在△ABC中，已知sinA+sinB一sinC，求证：△ABC是直角三角形bCa证明设一k，则k≠0，且sinCsinAsinBbacksinCsinA:sinBkk又因为sinA十sinBsinC，所以ac?十-即α+6”=c，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形例6如图9-1-5所示，在△ABC中，已知AZBAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求BDAB证：DCACD证明如图，设ZADB-α，ZBAD-β，则由题意可知ZADC-元一α，ZCAD-β.图9-1-5在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理，可得BDABsinasinβACACDCsina'sinβsin(元—α)BDAB两式相除即可得DCAC6第九章解三角形
探索与研究ba在正弦定理中，设k，研究常数k与△ABC外接圆的半sinAsinBsinC径的关系，（提示：先考虑直角三角形）练习A①在△ABC中，已知c=10，C=45，B=60，通过构造直角三角形求出b的值?已知△ABC中，A=60°，B=30°，a=3，求b.?求证在△ABC中，sinA+sinB_a+bsinCc为了方便起见，有时可对三角形的边和角作一些标记，以表示其中的相等关系。如图（I)中，AB与AC上的标记相同，这表示AB一AC，类似地，有BCCD，/ABC=ZACB，ZCBD=ZCDB，而且A=70，BD-10.图（2)(3)（4)中使用了类似的标记，判断这些图中是否存在矛盾，如果有，请指出矛盾所在10570°70°71c506图(1)图(2)图(3)图（4)@已知ABC中，A=45，B=75，6=8，求a.练习B0在△ABC中，已知a=3，b=4，A=30°，求sinC@在△ABC中，已知b=2a，B=A+60，求A③在ABC中，已知a=1，b=3，A+C-2B，求sinC.O如果在ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，求证：BD_ABDCAC.已知△ABC中，a-3b-2/6，B=2A，求sinB及c的大小25/6bsinC360°120°545°135°79.1正弦定理与余弦定理
9.1.2余弦定理情境与问题利用如图9-1-6（1）所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角(1)(2)图9-1-6例如，如图9-1-6（2）所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及ZACB的大小，你能根据这3个量求出AB吗？情境中的问题可以转化为：已知a，6和角C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解如图9-1-7所示，注意到ICA/-6,ICB|=a,《CA,CB)=所以 CB.CA=|CBICAI cos(CA,CB)=abcosC,而且AB=CB-CA，因此IAB12-ICB-CA12=ICB12-2CB.CA+ICA12=a2-2abcosC+6°,又因为|AB|=C，因此图9-1-7c2a2+6?-2abcos C.类似地，可得a2-62+c2-2bccosA,b”-c+a-2cacosB.这就是余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍8第九章解三角形
从余弦定理可以看出，已知三角形两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边，例1在△ABC中，已知a=3，b=6，C=60°，求c.解由余弦定理可知c?=a2+62-2abcosC=32+6-2×3×6×cos60°=27,因此日从例1可以看出，已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致例2在△ABC中，已知a=6，b=4，c=2/7，求C.解由c=a+62-2abcosC可得(2/7)"=6°+4-2X6X4cosC可解得cosC=1.2又因为0°<C<180°，所以C-日由例2可以看出，已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致.事实上，余弦定理可以改写为如下形式62+2-a2cOSA=2bcc+a2-62cosB=2caa2+62-c2cOsC=2ab在ABC中，已知acosA=bcosB，试判断这个三角形的形状例3解利用余弦定理可知b×a+c-6*b2+c2-a2ax2bc2ac因此a(63+c-a")=b2(a2+c-63),即ac2-6-a+6=0,从而(a-6)c2-(a2-63)(a+62)=0所以(a-62)(c2-a2-63)=0,因此a2-62=0或2-a2-62-0当a?-6=0时，a=b，此时△ABC是三角形；99.1正弦定理与余弦定理