53第十一章工立体几何初步55空间几何体11.15511.1.1空间几何体与斜二测画法6011.1.2构成空间几何体的基本元素6611.1.3多面体与棱柱7211.1.4棱锥与棱台7611.1.5旋转体8211.1.6祖原理与几何体的体积9111:2平面的基本事实与推论9611.3空间中的平行关系9611.3.1平行直线与异面直线10011.3.2直线与平面平行10311.3.3平面与平面平行11011.43空间中的垂直关系11011.4.1直线与平面垂直11.4.2平面与平面垂直116123本章小结本书拓展阅读目录秦九韶的“三斜求积术”/11利用复数产生分形图/40饭四元数简介/47我国古代数学中球的体积公式/86ii目录
数学在某方面类似于考古学你也许会找到某个东西的一角，并由此判断它是有趣的：于是你开始在别处挖掘，又找到了非常相似的另一角，你会想，是否有更深的联系？你继续挖掘，最终发现了地下的结构。当某些东西最终表明有意义时，你有一种发现的激动陶哲轩第九章解三角形
本章导语西我们在初中学过解直角三角形的有关知识：在直角国三角形中，除直角外共有5?个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，就是解直角三角形.不过，因为不是所有的福三角形都是直角三角形，所以如果仅仅会解直角三角形，那么解决一般三角形问题可能就会非常麻烦，例如，如图1所示，台风的破坏力非常大，实际生图1活中，了解与预测台风影响的时间具有重要的意义?如图2所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°C方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/hC的速度向西偏北30°方向移动：已知该台风影响的范围30°是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km如何求得城市A受到台风影响的时间？图2类似上述的问题，利用本章我们要学习的解一般三角形的知识就可以方便地解决，C在初中我们已经学过怎样得到不可达两点之间的距离，利用本章的内容可以解决更加复杂的问题CC
9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理情境与问题在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图9-1-1所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了ABC与ACB的大小，你能借助这3图9-1-1个量，求出AB的长吗？为了方便起见，本书中，将△ABC3个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c.在这样的约定下，情境中的问题可以转化为：已知a，B，C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，更一般地，可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解，尝试与发现1）如图9-1-2所示，已知ABC中，a=5，6-3，C，你能求出这个三角形的而积吗？（2）一般地，在△ABC中，如何根据a，b与C的值，Da求出这个三角形的面积？图9-1-2如图9-1-2所示，在△ABC中，过点A作BC边上的高AD，在Rt△ADC中，由正弦的定义可知AD=bsinC,因此所求三角形的面积为39.1正弦定理与余弦定理
15/311个SzabsinCX5X3Xsin3N22可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立：而当C为钝角时：如图9-1-3所示。仍设△ABC的BC边上的高为AD，则可知AD=bsin/ACD-bsin（元-C)-口71因此仍有S2absinC；当C为直角时，由图9-1-3sin90°=1可知上述面积公式仍成立一般地，若记AABC的面积为S，则SzabsinczacsinBbcsinA.2SsinBsinCsinA由此可知又因为sinA>osinB>，babcCasinC>o，因此可得bacsinAsinBsinC这就是正弦定理：在一个三角形中。各边的长和它所对角的正弦的比相等例1已知△ABC中，B=75°，C-60°，a=10，求c.解由已知可得A-180°-B-C-180°-75°-60°-45°casinA sinC，所以由正弦定理可知asinC10sin60°2CsinAsin45°利用例1的解法即可求解出前述情境中的问题，而月，例1也可通过构造直角三角形求解，请读者自行尝试，并总结两种解法各自的优缺点另外，由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边，因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了，事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA致习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形已知△ABC中，a=2，6=2/3，A=30°，求解这个三角形.①例2①即求三角形中未知的元素，下同4第九章解三角形