定理3判别极值第二充分条件)设函数f(x)在点x,处具有 二阶导数，且f'(x)=0,∫”(x)≠0 (1)若∫"(x)<0,则f(x在点xo取极大值； (2)若f"(x)>0,则f(x在点xo取极小值 证：(1)f"(xo)=1im f(x)-f(o) =1im f'(x) x→x0 x-xo x->x0x0 由∫"(x)<0知，存在6>0，当0<x-x<δ时， 'w<0 x-xo 故当x-δ<x<x时，f'(x)>0 当x<x<x+δ时，f'(x)<0, x0δx0xtδ 由第一充分条件知f(x)在xo取极大值 (2)类似可证 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (判别极值第二充分条件) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一充分条件知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证
例3.4.2求函数f(x)=-2x3+6x2+18x+7的极值 解：在函数的定义域(-0，+o)内， f'(x)=-6x2+12x十18=-6(x-3)(x+1) 令f(x)=0,求得驻点x=-1及x=3. 由f"(x)=-12x+12 "(-1)=24>0,f"(3)=-24<0, 故-1)=-3是极小值，3)=61是极大值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.4.2 求函数 的极值 . 解: 在函数的定义域(-∞,+∞)内， f ′(x)＝－6x 2＋12x＋18＝－6(x－3)(x＋1)． 令f′(x)＝0，求得驻点 x＝－1及x＝3. 由f″(x)＝－12x＋12， f″(－1)＝24>0， f″(3)＝－24<0， 故f(－1)＝－3是极小值，f(3)＝61是极大值．
*定理4判别法的推广)若函数f(x)在x0点有直到n阶导 数，且f'(x0)=f"(xo)==fn-)(x0)=0,fm(xo)≠0， 则：1)当n为偶数时，x为极值点，且 fm)(xo)>0时，x是极小点 fm(xo)<0时，x是极大点 2)当n为奇数时，x,不是极值点 证：利用f(x)在x。点的泰勒公式，可得 x)-j)=(x-y+ox-) n! 当x充分接近x,时，上式左端正负号由右端第一项确定 故结论正确 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 *定理4 (判别法的推广) ( ) 0, 0 ( ) f x n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ++ n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − (( ) ) 0 n + o x − x − + 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
二、函数的最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间α，b]上连续，则其最值只能 在驻点、不可导点以及端点处取得： 求函数最值的方法： (1)求f(在（内的极值可疑点 X1,X2,·,Xm (2)最大值 M=maxt f(x),f(x2),,f(xm),f(a),f(b)} 最小值 m=minf(x),f(x2),.f(xm),f(a),f(b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的最大值与最小值问题 则其最值只能 在驻点、不可导点以及端点处取得. 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值
特别： 当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时 若在此点取极大（小）值，则也是最大（小值 当f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到 ·对应用问题，有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 特别: • 当 在 内只有一个极值可疑点时, • 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 . (小)