二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: X y p11p12 p1p12 联合分布律的性质(1)P1≥0,j=1,2 (2)∑∑P=1 i≥1j≥1
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: X Y y 1 y 2 … yj … p11 p12 ... p1j ... p21 p22 ... p2j ... pi1 pi2 ... pij ... ... ... ... ... ... ... ... ... x1 x 2 xi 联合分布律的性质 (1) pij ≥0 , i, j ＝1, 2, … (2) p 1 i 1 1 j ∑ ∑ ij ＝ ≥ ≥
例袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二次, 第一次摸到红球 0第一次摸到白球求,的分布律。 y={1第二次摸到红球Px=1Y=1}=p 0第二次摸到白球 2×3 P{X=1,Y=0}= 3×2 0303 P(X=0,y=1}= 101 P{X=0,y=0} 1010
例 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令 ⎩ ⎨ ⎧ = ⎩ ⎨ ⎧ = 第二次摸到白球 第二次摸到红球 第一次摸到白球 第一次摸到红球 0 1 0 1 Y X 求(X,Y)的分布律。 X Y 1 0 10 1 10 3 10 3 10 3 2 5 2 2 { 1, 1 } P P P X = Y = = 2 5 2 3 { 1, 0 } P P X Y × = = = 2 5 3 2 { 0, 1 } P P X Y × = = = 2 5 2 3 { 0, 0 } P P P X = Y = = 1 0
四.二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义p77 对于二维随机变量(X,Y),若存在一个非负可积 函数f(x,y),使对v(x,y)∈R 其分布函数F(y)=∫r(uv)dmv, 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)为 (X,Y)的密度函数(概率密度),或X与Y的联合密度 函数,可记为 (X,Y)~fⅸx,y),(ⅸx,y)∈R2
四. 二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义 p77 对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积 函数f(x,y)，使对 ∀(x,y) ∈ R 2 ， 其分布函数 ∫ ∫ − ∞ ∞ − = x y F ( x , y ) f ( u , v )dudv , 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度 函数，可记为 (X, Y) ～ f (x, y) ， (x, y) ∈ R 2
2、联合密度f(x,y)的性质 (1)非负性:f(x,y)≥0,(x,y)∈R2; (2)归一性 f(x, y)dxdy=1 0-0 反之,具有以上两个性质的二元函数f(x,y),必是 某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外,f(x,y)还有下述性质 3)若f(x,y)在(x,y)∈R2处连续,则有 a F(X, y) f(x, y) andy
2、联合密度 f(x,y)的性质 (1) 非负性： f(x,y)≥0, (x,y)∈R2; (2) 归一性： ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ = － － f (x, y)dxdy 1; 反之，具有以上两个性质的二元函数 f(x,y)，必是 某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外，f(x,y)还有下述性质 (3) 若f(x,y)在(x,y)∈R2处连续，则有 f (x, y ); x y F(x, y ) 2 = ∂ ∂ ∂
(4)对于任意平面区域GcR2, P(X,y)∈G}=f(x,y)xd G 设 10<x<10<y<1 (X, y)f(x,y) 0 others 求:P{X>Y P(X>Y=dx|1.dy 2 00
(4) 对于任意平面区域 G ⊂ R 2 , ∫∫ ∈ = G P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy . 设 ⎩ ⎨ ⎧ < < < < = others x y X Y f x y 0 1 0 1,0 1 ( , ) ~ ( , ) 求: P{X>Y} 2 1 { } 1 0 1 0 > = ⋅ = ∫ ∫ x P X Y dx dy