例设(X,1)~f(x2y)= Ae(x+3y),x>0,y>0 0,其它 求:(1)常数A;(2)F(1,1);(3)(X,Y)落在三角形 区域D:x≥0,y≥0,2X+3y≤6内的概率。 解:(1)由归一性→A=6 ∫fxy)d=」e2d 00-0 00 (2)F(1,1 be (2x+3y) e
⎩⎨⎧ > > = − + 0, 其它 , 0, 0 ( , ) ~ ( , ) (2 3 ) Ae x y X Y f x y x y 例 设 求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形 区域D：x≥0,y≥0,2X+3y≤6 内的概率。 解：(1) 由归一性 ∫ ∫ ∫∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − + = = － － 0 0 (2 3 ) f (x, y)dxdy Ae dxdy 1 x y ⇒ A = 6 ∫∫ − + − − = = − − 1 0 1 0 (2 3 ) 2 3 (2)F(1,1) 6e dxdy (1 e )(1 e ) x y
(3)(x,Y)落在区域D:x≥0,y≥0,2X+3y≤6内的概率 解P(x,)∈D;=Je2+o D ∫4j6e232d 2x+3y =1-7e 2x+3y=6 D
(3) (X,Y)落在区域D：x ≥0, y ≥0, 2X+3y ≤6内的概率 P X Y D e dxdy D x y ∫∫ − + ∈ = ( 2 3 ) 解 {( , ) } 6 ∫ ∫ − − + = 3 0 3 2 2 0 ( 2 3 ) dx 6 e dy x x y 6 1 7 − = − e
3.两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布 若二维随机变量(X,Y)的密度函数为 f(xy)={D的面积’(xy)∈Dc 其它 则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布 易见,若(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布, 对D内任意区域G,有 P{(X,Y}∈G}=
3. 两个常用的二维连续型分布 (1) 二维均匀分布 • 若二维随机变量(X,Y)的密度函数为 则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ⊂ = 其它 ， 的面积 0, ( , ) 1 ( , ) 2 x y D R f x y D D G S S P{( X , Y } ∈ G } = • 易见，若（X,Y）在区域D上(内)服从均匀分布， 对D内任意区域G，有
例设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布, X (1)求(X,Y)的概率密度; y=X (2)求P{Y<X; (3)求F(0.5,0.5 解:(1)SD=1 l,(x,y)∈D f(,y) other
例.设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5) y=-x y=x = 1 D 解：（ 1 ） S ⎩ ⎨ ⎧ ∈ = other x y D f x y 0, 1 ( , ) ( , )
(2)求P(Y<2X 1y=2X 13 一 4 PY<2x)=S/SD=0.25 (3)求F(0.5,0.5) F(0.5,0.5)=P{X≤0.5,Y≤0.5} =S2/S=0.25 1 224
(2)求P{Y<2X} y=2x 4 1 1 2 3 2 1 SG =1− × × = P{Y<2X}=SG/SD=0.25 (3)求F(0.5,0.5) F(0.5,0.5)=P{X≤0.5,Y≤0.5} =S3/SD=0.25 4 1 2 1 1 2 1 S3 = × × =