分布函数F(x,y)具有如下性质: (1)归一性对任意(x,y)∈R2,0F(x,y)≤1 F(∞,∞)=limF(x,y)= x y→>o F(oO ● )=lim F(x, y)=0 y F( y)= F(x,y)=0 x→ F(X,-00 ) lim F(x, y)=0 y
分布函数F(x,y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) ∈ R2 , 0 ≤ F(x, y) ≤ 1, ( ∞ , ∞ ) = lim ( , ) = 1 → ∞ → ∞ F F x y y x ( −∞ , − ∞ ) = lim ( , ) = 0 → −∞ → −∞ F F x y y x ( −∞ , ) = lim ( , ) = 0 → −∞ F y F x y x ( , −∞ ) = lim ( , ) = 0 → −∞ F x F x y y
(2)单调不减 对任意y∈R,当X1<x2时,F(x1,y)≤R(x2,y) 对任意x∈R,当y1y2时,F(x,y1)≤R(x,y2) (3)右连续 对任意x∈R,y∈R, F(X, Yo+0)=lim F(x,y)=F(X,yo). y→>y0 F(Xo+0, y)=lim F(x, y)=F(Xo, y); X→X
(2)单调不减 对任意y∈R, 当x1<x2时，F(x1,y) ≤ F(x2,y)； 对任意x∈R, 当y1<y2时，F(x,y1) ≤ F(x,y2). (3)右连续 对任意x∈R, y∈R, F(x, y 0) lim F(x, y) F(x, y ). 0 y y 0 0 + = = → + F(x 0, y) lim F(x, y) F(x , y); 0 x x 0 0 + = = → +
(4)矩形不等式 对于任意(x1,y1(x2y2)∈R2,x1x2,y1y2) (x2y2)-F(X1y2)-F(x2,y)+F(x1y)≥0 反之,任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)≥0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数
例.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 x F(x, y)=AB+arctg(IC+arct() 2 1)求常数A,B,C。2)求P{0<X<2,0<Y<3} 解:F(,0)=A[B+]=1 F(-∞,y)=A[B IC+ arct (2)=0 x F(x,-0)=A[B+wrcg()C-]=0 →B=C A 丌2 P(0<X≤20<Y≤3}=F(0,0)+F(2,3)-F(0,3)-F(2.0)≈1 16
例. 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 )] 3 )][ ( 2 ( , ) [ ( y C arctg x F x y = A B + arctg + 1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3} 解: ] 1 2 ( ∞ , ∞ ) = [ + = π F A B )] 0 3 ][ ( 2 ( −∞ , ) = [ − + = y F y A B C arctg π ] 0 2 )][ 2 ( ,−∞ ) = [ + ( − = π C x F x A B arctg 2 1 2 π π ⇒ B = C = A = 16 1 P { 0 < X ≤ 2,0 < Y ≤ 3 } = F ( 0,0 ) + F ( 2,3 ) − F ( 0,3 ) − F ( 2,0 ) =
联合分布律 若二维随机变量(x,Y)只能取至多可列个值(x,y) i,j=1,2,…),则称(,Y)为二维离散型随机变量 若二维离散型随机变量(x,Y)取(x1,y)的概率为p; 则称P=x1,Y=y}=p1,(i,j=1,2,…),为二维 离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变量X与Y的 联合分布律 可记为 (x,Y)~P(X=x1,Y=y;}=p;(i,j=1,2,…,)
三.联合分布律 • 若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj), (i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 • 若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij, 则称 P{X＝xi,Y＝yj}＝pij ，(i,j＝1,2,…)，为二维 离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的 联合分布律. 可记为 • (X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj}＝pij (i,j＝1,2,…)