《数学分析》教案第二章数列极限（12学时）81数列极限概念教学目的与要求1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛，2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数教学重点：数列极限概念教学难点：数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数学时安排：3学时教学方法：讲练结合。教学程序：若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称f:N→R或f(n),neN为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f（n）也可写作a,a2.."an.或简单地记为(a，，其中a，，称为该数列的通项关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子，例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去，把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：.111第一天截下，，第二天截下….，第n天截下…这样就得到一个数列23,2%,11122″11不难看出，数列！的通项-随着n的无限增大而无限地接近于0.一般地说，对于数列a，若当n无2"2"限增大时α，能无限地接近某一个常数α，则称此数列为收敛数列，常数α称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列.收敛数列的特性是“随着n的无限增大，α,无限地接近某一常数a”这就是说，当n充分大时，数列的通项α，与常数α之差的绝对值可以任意小。下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义，定义1设(a)为数列，a为定数.若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|an-αk则称数列(a,收敏于a，定数a称为数列(a,)的极限，并记作lima,=a，或a→a(n→)
《数学分析》教案 第二章 数列极限 （12 学时） §1 数列极限概念 教学目的与要求 1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛. 2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. 教学重点: 数列极限概念. 教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. 学时安排: 3 学时 教学方法：讲练结合。 教学程序： 若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N+，则称 f : N+ → R 或 f (n), n N+ 为数列．因正整数集 N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列 f (n) 也可写作 , , , , , a1 a2 an 或简单地记为 { }n a ，其中 n a ，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子． 例 1 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含 义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下 2 1 ，第二天截下 2 2 1 ，.，第 n 天截下 n 2 1 ，.这样就得到一个数列 , 2 1 , , 2 1 , 2 1 2 n ．或 n 2 1 . 不难看出，数列{ n 2 1 }的通项 n 2 1 随着 n 的无限增大而无限地接近于 0．一般地说，对于数列 { }n a ，若当 n 无 限增大时 n a 能无限地接近某一个常数 a ，则称此数列为收敛数列，常数 a 称为它的极限．不具有这种特性的 数列就不是收敛数列． 收敛数列的特性是“随着 n 的无限增大， n a 无限地接近某一常数 a ”．这就是说，当 n 充分大时，数列的 通项 n a 与常数 a 之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义． 定义 1 设 { }n a 为数列， a 为定数．若对任给的正数 ，总存在正整数 N，使得当， n >N 时有 | a − a | n 则称数列 { }n a 收敛于 a ，定数 a 称为数列{ }n a 的极限，并记作 an a n = → lim ，或 a → a(n → ) n
《数学分析》教案读作“当n趋于无穷大时，a，的极限等于a或α趋于a”若数列a没有极限，则称a！不收敛，或称a为发散数列定义1常称为数列极限的ε一N定义，下面举例说明如何根据-N定义来验证数列极限.1例2证明lim=0，这里α为正数n-0na证由于I1-0=nana-故对任给的6>0，只要取N=+1，则当n>N时，便有1Lea111即[0ks.1eNanahg1-0这就证明了limn-ona例3证明3n2lim =3n-→n?_3分析由于3n?9.9-(n ≥3).()n2_3n2-3n9<8，便有因此，对任给的8>0，只要一n3n2(2)-3k8,n2-39即当n>时，(2)式成立。又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取69N = max[3, S9证任给>0,取N=max3,).据分析，当n>N时有（2）式成立于是本题得证5注本例在求N的过程中，（1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N.又(3)式给出的N不一定是正整数，一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可，例4证明limq"=0，这里|g<1.n-→o1证若q=0，则结果是显然的.现设0<lq<1.记h=-1，则h>0.Iql我们有
《数学分析》教案 读作“当 n 趋于无穷大时， n a 的极限等于 a 或 n a 趋于 a ”． 若数列 { }n a 没有极限，则称 { }n a 不收敛，或称 { }n a 为发散数列． 定义 1 常称为数列极限的 —N 定义．下面举例说明如何根据 − N 定义来验证数列极限． 例 2 证明 0 1 lim = → n n ，这里 为正数 证 由于 , 1 0 | 1 | n n − = 故对任给的 >0，只要取 N= 1 1 1 + ，则当 n N 时，便有 n N 1 1 即 0 | . 1 | − n 这就证明了 0 1 lim = → n n . 例 3 证明 3 3 3 lim 2 2 = → n − n n . 分析 由于 n n n n 9 3 9 | 3 3 | 2 2 2 − = − (n 3). (1) 因此，对任给的 >o，只要 n 9 ，便有 3 | , 3 3 | 2 2 − n − n (2) 即当 9 n 时，(2)式成立．又由于(1)式是在 n ≥3 的条件下成立的，故应取 }. 9 max{3, N = 证 任给 0, 取 }. 9 max{3, N = 据分析，当 n N 时有（2）式成立.于是本题得证. 注 本例在求 N 的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求 N 就比较方便．但应注意这种放大必 须“适当”，以根据给定的 E 能确定出 N．又(3)式给出的 N 不一定是正整数．一般地，在定义 1 中 N 不一定 限于正整数，而只要它是正数即可． 例 4 证明 n n q → lim =0，这里 | q | <1． 证 若 q =0，则结果是显然的．现设 0< | q | <1．记 1 | | 1 = − q h ，则 h >0． 我们有
《数学分析》教案1"-0"(1+h)"并由(1+h)"≥1+nh得到11(4)Iql"<1+nhnh，则当n>N时，由（4）式得|g"-0k8.这对任给的ε>0.只要取N=ch就证明了lim q"=0注本例还可利用对数函数y=lgx的严格增性来证明（见第一章$4例6的注及(2)式)，简述如下：对任给的>0(不妨设<1)，为使|g"-0月g"<6，只要lg6即n>nlglqklg(这里也假定0k1)Ig IqlIg即可。于是，只要取N：Ig I q l例5证明lim/a=1=1，其中a>0.证（i）当a=1时，结论显然成立1（i）当a>1时，记α=a"-1，则α>0.由a=(1+α)"≥1+nα=1+n(α"_l)1q"-1≤-1得(5)n.1a-1任给6>0，由(5)式可见，当n>9N时，就有a"-1<8，即a"-1<所以lim/a=18111=β则β>0.由==(1+β)"≥1+nβ=1+(ii）当0<a<l时，"aaa1a-l-11-a1(6)得1-a"<n+a--1.-1+(n-1)a1+(n-1)aa-l_1任给ε>0，由（6）式可见，当n>1+N时，就有1-a"<，即|a"-1|<ε.所以lim/a=18关于数列极限的8一N定义，应着重注意下面几点1.ε的任意性定义1中正数ε的作用在于衡量数列通项α，与定数a的接近程度，ε愈小，表示接近得愈好：而正数可以任意地小，说明α，与α可以接近到任何程度然而，尽管6有其任意性，但一经给出
《数学分析》教案 , (1 ) 1 | 0 | | | n n n h q q + − = = 并由 + n (1 h) 1+ nh 得到 . 1 1 1 | | nh nh q n + (4) 对任给的 0, 只要取 , 1 h N = 则当 n N 时，由（4）式得 | − 0 | . n q 这 就证明了 lim = 0 → n n q . 注 本例还可利用对数函数 y = lg x 的严格增性来证明(见第一章§4 例 6 的注及(2)式)，简述如下： 对任给的 >0(不妨设 <1)，为使 − = n n | q 0 | | q | ，只要 nlg | q | lg 即 lg | | lg q n （这里也假定 0 | q | 1). 于是，只要取 lg | | lg q N = 即可。 例 5 证明 lim = 1 → n n a =1，其中 a >0． 证 (ⅰ)当 a =1 时，结论显然成立. (ⅱ) 当 a 1 时，记 1 1 = − n a ，则 0.由 (1 ) 1 1 ( 1) 1 = + + = + − n n a n n a 得 . 1 1 1 n a a n − − (5) 任给 0 ，由(5)式可见，当 N a n = − 1 时，就有 −1 1 n a ，即 | 1| 1 − n a .所以 lim = 1 → n n a . (ⅲ) 当 0 a 1 时，, －１= １ n a 则 0 .由 = + + = + −1 1 (1 ) 1 1 1 n n a n n a 得 (n )a (n )a a n a a a n 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 + − + − − = + − − − − − （6） 任给 0 ，由（6）式可见，当 N a n = − + − 1 1 １ 时，就有 − n a 1 1 ，即 | 1| 1 − n a .所以 lim = 1 → n n a . 关于数列极限的 —N 定义，应着重注意下面几点： 1． 的任意性 定义 1 中正数 的作用在于衡量数列通项 n a 与定数 a 的接近程度， 愈小，表示接近得 愈好；而正数 可以任意地小，说明 n a 与 a 可以接近到任何程度．然而，尽管 有其任意性，但一经给出
《数学分析》教案就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又ε既时任意小的正数，那么,3c或2等等同样也是任意小2的正数，因此定义1中不等式|a,-αε中的：可用号,3s或：2等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，2我们可限定小于一个确定的正数（如在例4的注给出的证明方法中限定ε<1)：另外，定义1中的a,al也可改写成laa2.N的相应性一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的s，比如当N=100时，能使得当㎡>N时有|a,-αkε，则N=101或更大时此不等式自然也成立，这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。另外，定义1中的，n>N也可改写成n≥N.3.从几何意义上看，“当n>N时有|α"-αk”意味着：所有下标大于N的项a都落在邻域U(a,ε）内；而在U(a;s)之外，数列(a,)中的项至多只有N个(有限个).反之，任给>0,若在U(a,ε)之外数列(an)中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N，则当n>N时有a,eU(a,)，即当n>N时有a,-a<，由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：定义1任给ε>0，若在U(a,ε)之外数列(a,)中的项至多只有有限个，则称数列(a,)收敛于极限a.由定义1，可知，若存在某8>0，使得数列(an)中有无穷多个项落在U(a,8o)之外，则(a,)一定不以a为极限.例6证明(n2）和((-1)"）都是发散数列.证对任何aER，取8=1，则数列(n2)中所有满足n>a+1的项(有无穷多个)显然都落在U(a,8)之外，故知(n）不以任何数a为极限，即(n为发散数列至于数列((-1)")，当a=1时取8。=1，则在U(a,8）之外有(-1)"）中的所有奇数项；当a1时取1|a-1],则在U（a,s)之外有((-1)"}中的所有偶数项.所以((-1)")不以任何数a为极限，即((-1)"）60"2为发散数列例7设limx=limy,=a，做数列(,）如下：(zn:xi,Ji,X2,y2,"",Xnyn,*"证明lim",=a.证，因limxn=limy=a,故对任给的>0，数列(x,)和(y)中落在U(a,6)之外的项都至少只有有限个.所以数列(=,)中落在U(a,s)之外的项也至多只有有限个。故由定义1，证得lim=，=a.例8设(an)为给定的数列，(b,)为对(a,)增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列(bn)
《数学分析》教案 就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 N ，又 既时任意小的正数，那么 2 ,3 2 或 等等同样也是任意小 的正数，因此定义 1 中不等式 | a − a | n 中的 可用 或 ,3 2 2 等来代替．同时，正由于 是任意小正数， 我们可限定 小于一个确定的正数(如在例 4 的注给出的证明方法中限定 <1)．另外，定义 1 中的 a a｜＜ | n − 也可改写成 | a − a | . n 2．N 的相应性 一般说，N 随 的变小而变大，由此常把 N 写作 N( )，来强调 N 是依赖于 的；但这 并不意味着 N 是由 所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当 N=100 时，能使得当 •n >N 时有 | a − a | n ， 则 N=101 或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是 N 的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义 1 中的， n >N 也可改写成 n N． 3．从几何意义上看，“当 n >N 时有 | a − a | n ”意味着：所有下标大于 N 的项 aｎ 都落在邻域 U( a; ) 内；而在 U(a; )之外，数列{ n a }中的项至多只有 N 个(有限个)．反之，任给 >0，若在 U( a; )之外数列 { }n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为 N，则当 n >N 时有 a U(a, ) n ，即当 n >N 时有 | a a | n − < ．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下： 定义 ' 1 任给 >0，若在 U( a, )之外数列 an 中的项至多只有有限个，则称数列 an 收敛于极限 a ． 由定义 1，可知，若存在某 ０ 0 ，使得数列 { }n a 中有无穷多个项落在 U( 0 a, )之外，则 an { }一定不以 a 为极限． 例 6 证明 2 {n }和{ }都是发散数列． 证 对任何 a R，取 0 = 1 ，则数列{ 2 n }中所有满足 n a +1 的项(有无穷多个)显然都落在 U( 0 a; ) 之外，故知 { } 2 n 不以任何数 a 为极限，即 { } 2 n 为发散数列. 至于数列{ ( 1) } n − ，当 a =1 时取 0 = 1 ，则在 U ( ; ) 0 a 之外有 {( 1) } n − 中的所有奇数项；当 a 1 时取 | 1|, 2 1 0 = a − 则在 U（ ; ) 0 a 之外有{ ( 1) } n − 中的所有偶数项．所以{ ( 1) } n − 不以任何数 a 为极限，即{ n (−1) } 为发散数列． 例 7 设 x yn a n n n = = → → lim lim ，做数列 { }n z 如下： { }: , , , , , , , . zn x1 y1 x2 y2 xn yn 证明 lim z a. n n = → 证， 因 lim x lim y a, n n n n = = → → 故对任给的 0 ，数列 { }n x 和{ }n y 中落在 U (a; ) 之外的项都至少只有 有限个.所以数列 { }n z 中落在 U (a; ) 之外的项也至多只有有限个．故由定义 1' ，证得 zn a n = → lim ． 例 8 设 { }n a 为给定的数列， { }n b 为对 { }n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列 { }n b n (−1)
《数学分析》教案与(α,)同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。证设(a,)为收敛数列，且lima,=α.按定义1，对任给的ε>0，数列(a,}中落在U(a,)之外的项至多只有有限个.而数列(b,}是对(α,}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，(b,)中的每一项都是(α）中确定的一项，所以(b,中落在U(a,ε)之外的项也至多只有有限个.这就证得limb，=a现设(a,)发散。倘若(b,}收敛，则因（α,)可看成是对(b,)增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，(a,收敛，矛盾．所以当(a,)发散时，(b,)也发散在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman=0，则称(a,)为无穷小数列.由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：定理2.1数列(a,)收敛于a的充要条件是：(a,-a)为无穷小数列.IV小结与提问：本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出lima,a和lima,不存在的“g一N”定义V课外作业：P272、3、4、6、7、8.82收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质：掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性：（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。学时安排：3学时教学方法：讲练结合。教学程序：◆引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证limα，=α的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）若数列（a.）收敛，则它只有一个极限。性质2（有界性）若数列(a,)收敛，则（a)为有界数列
《数学分析》教案 与 { }n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等． 证 设 { }n a 为收敛数列，且 an a n = → lim ．按定义 ' 1 ，对任给的 >0，数列 { }n a 中落在 U( a; )之外的项 至多只有有限个．而数列 { }n b 是对 { }n a 增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始， { }n b 中的每 一项都是 { }n a 中确定的一项，所以 { }n b 中落在 U( a; ) 之外的项也至多只有有限个．这就证得 bn a n = → lim ． 现设 { }n a 发散．倘若 { }n b 收敛，则因{ }n a 可看成是对 { }n b 增加、减少或改变有限项之后得到的数列， 故由刚才所证， { }n a 收敛，矛盾．所以当 { }n a 发散时，{ }n b 也发散． 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义 2 若 lim = 0 → n n a ，则称 { }n a 为无穷小数列． 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题： 定理 2.1 数列 { }n a 收敛于 a 的充要条件是： {a a} n − 为无穷小数列． Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求 学生课堂上给出 an a n → lim 和 n n a → lim 不存在的“ —N”定义. Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8. §２ 收敛数列的性质 教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性； （２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极 限。 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 学时安排: 3 学时 教学方法：讲练结合。 教学程序： ◆ 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证 lim n n a a → = 的方法，这是极限较基本的内容，要 求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质 性质１（极限唯一性） 若数列 an 收敛，则它只有一个极限。 性质２（有界性）若数列an收敛，则an为有界数列