《数学分析》教案e -(1+2x)"/2例 3 limIn(1 + x)为此，我们引进求解这类极限的更为有效的工具一L'Hospital（洛必达法则）。（有的同学可能会有疑问：既然这么好的工具，为什么不早介绍呢？因为L'Hospital法则要使用函数的导数，而且其理论依据在中值定理，所以放在中值定理的应用中来讲）。.0-型极限的）洛必达法则若函数f和g满足：（1）limf(α)=limg(x)=0：（2）在点x的某空0心邻域内两者都可导，且g(s)*0：（3）lim[(八）f'(x)=A.f(x) = lim=A，则lim+ g(x)x→x g(x)x→ g'(x)注(1)将x→改为x→,,+0,-0,8时，上述结论都对；(2）m(是分子，分母分别+o g'(x)(()不同，更不能认为是(limf(x)求导时极限和lim（+ g(x)g(x)Vxlim 例 4--0"1-eVer-1例5limx3X-→0型极限3、800型不定式极限的L'Hospital法则（1）limf(x)=limg(x)=00；（2）在点x的某空心邻域内两8X-→xr)=A, 则 lm= lim =A.者都可导，且g(x)±0：（3）lim+o g'(x)+ g(x)x-→o g'(x)注（1）将x→x改为x→x,+0,-0,0时，上述结论都对；（2）如果f"，g，f"，g"满足条件，则可再次使用该法则。Inxlim例 6+00X-elim 例 7 1→+0x30型和~型求极限的 LHospital 法则应注意的一些问题：（1)、不能对任何比较类型的极限都用使用00000o型才可以；（2)、若lm(不存在，就不能用，但这不意味着L'Hospital法则来求解，必须是型和-000+og'(x)一）不存在；（3）、可以使用L'Hospial 法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方lim-→0 g(x)
《数学分析》教案 例 3 1/ 2 2 0 (1 2 ) lim ln(1 ) x x e x → x − + + 为此，我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L’Hospital（洛必达法则）。（有的同学可能会有疑问： 既然这么好的工具，为什么不早介绍呢？因为 L’Hospital 法则要使用函数的导数，而且其理论依据在中值定 理，所以放在中值定理的应用中来讲）。 （ 0 0 型极限的）洛必达法则 若函数 f 和 g 满足：（1） 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空 心邻域内两者都可导，且 g x ( ) 0 ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x = ，则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x = = 。 注 （1）将 0 x x → 改为 0 0 x x x, , , , → + − + − 时，上述结论都对；（2） 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 是分子，分母分别 求导时极限和 0 ( ) lim( ) ( ) x x f x → g x 不同，更不能认为是 0 ( ) (lim ) ( ) x x f x → g x 。 例 4 0 lim 1 x x x e → + − 例 5 3 0 1 lim x x e → x − 3、 型极限 型不定式极限的 L’Hospital 法则 （1） 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空心邻域内两 者都可导，且 g x ( ) 0 ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x = ，则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x = = 。 注 （1）将 0 x x → 改为 0 0 x x x, , , , → + − + − 时，上述结论都对；（2）如果 f ， g ， f ， g 满足 条件，则可再次使用该法则。 例 6 ln lim x x →+ x 例 7 3 lim x x e →+ x 使用 0 0 型和 型求极限的 L’Hospital 法则应注意的一些问题：（1）、不能对任何比较类型的极限都用 L’Hospital 法则来求解，必须是 0 0 型和 型才可以；（2）、若 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 不存在，就不能用，但这不意味着 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 不存在；（3）、可以使用 L’Hospital 法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方
《数学分析》教案(x)比 lim (）简单时，用L-Hospital 法则才有价值，否则另找方法，故LHospital法；（4）、只有当lim+ g'(x)x-→x g(x)法则不是“万能工具”4、其它类型不定式极限如=型、80-80型、0.00型、0°型、1"'型、0”型、0°型等，经过变换，它们一般均可以化为型和80800型的极限，如下列各例：0例8limxlnx=0x-0-例9 lim(cos x)=elim(sin x)+Inx=ek（k为常数)例103~0lim(x+ /1+x:)nx =e例 11111例 12 lim(2x-1Inx[g(x)x+0，已知g(0)=g(0)=0，g"(0)=3，试求(0)。例13设f(x)x[o,x=05、用L'Hospital法则求数列极限11例 14 lim(1+n二n→ann83.泰勒公式教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。教学要求：（1）深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异：（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。教学重点：Taylor公式教学难点：Taylor定理的证明及应用。教学方法：系统讲授法。学时安排：2学时教学程序：·引言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x可导，则有有限存在
《数学分析》教案 法；（4）、只有当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 比 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 简单时，用 L’Hospital 法则才有价值，否则另找方法，故 L’Hospital 法则不是“万能工具”。 4、其它类型不定式极限 如 型、 − 型、 0 型、 0 0 型、 1 型、 0 型、 0 型等，经过变换，它们一般均可以化为 型和 0 0 型的极限，如下列各例： 例 8 0 lim ln 0 x x x → + = 例 9 2 1 1 2 0 lim(cos ) x x x e − → = 例 10 1 ln 0 lim (sin ) k k x x x e + + → = （k 为常数） 例 11 1 2 ln lim ( 1 ) x x x x e →+ + + = 例 12 1 1 1 1 lim( ) x→ x x 1 ln 2 − = − − 例 13 设 ( ) 0 ( ) 0, 0 g x x f x x x = ，已知 g g (0) (0) 0 = = ， g (0) 3 = ，试求 f (0) 。 5、用 L’Hospital 法则求数列极限 例 14 2 1 1 lim(1 )n n e → n n + + = §3. 泰勒公式 教学目的： 掌握 Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。 教学要求：（1）深刻理解 Taylor 定理，掌握 Taylor 公式，熟悉两种不同余项的 Taylor 公式及其之间的差异； （2）掌握并熟记一些常用初等函数和 Taylor 展开公式，并能加以应用。 （3）会用带 Taylor 型余项的 Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代 Peanlo 余项的 Taylor 公式求某些函数的极限。 教学重点： Taylor 公式 教学难点： Taylor 定理的证明及应用。 教学方法： 系统讲授法。 学时安排： 2 学时 教学程序： ⚫ 引 言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来 很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个 函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数 f 在点 0 x 可导，则有有限存在