《数学分析》教素第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：10学时81含参量正常积分一．含参积分：以实例（2yy和（2yy引入.定义含参积分[()-(x,)和G()-(x,)含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分1.含参积分的连续性：Th19.5若函数J(x,J)在矩形域D=[α,b]x[c,d]上连续，则函数I(x) = [（证）P172f(x,y)ay在[a,b]上连续.Th19.8若函数f(x,y)在矩形域D=[a,b]x[c,d]上连续，函数yi(x)"(xay在【a,b]上连续和y2(x)在【a,b]上连续，则函数G(x)=（证）P1732．含参积分的可微性及其应用：-1
《数学分析》教案 - 1 - 第十九章 含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含 参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计 算。 教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛 性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：10 学时 § 1 含参量正常积分 一. 含参积分: 以实例 和 引入. 定义含参积分 和 . 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为 含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数 在矩形域 上连续 , 则函数 在 上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数 在矩形域 上连续, 函数 和 在 上连续 , 则函数 在 上连续. ( 证 ) P173 2. 含参积分的可微性及其应用:
《数学分析》教素Th19.10若函数(x,y)及其偏导数J,都在矩形域D=[a,b]×[c,d]上连续，则函数1(x)=【(x,y)dy在【a,b]上可导，且(-Is(（即积分和求导次序可换），（证）P174Th19.11设函数f(x,y)及其偏导数,都在矩形域D=[a,b][c,d]上连续，函数(x)和y2(x)定义在【α,b]，值域在【c,d]上，且可微，则含参积分G()=f(x,j)ay在【α,b]上可微，且() - ( (w ()( - ( (0)()。 (（ P174m(1+ dx例1计算积分1=0P176.b 1+x?例 2设函数f(x)在点x=0的某邻域内连续．验证当|x充分小时，函数(x) =f(t)d(n-1)1b的n-1阶导数存在，且(")(x)=f(x)P177.82含参反常积分含参无穷积分：-2 -
《数学分析》教案 - 2 - Th 19.10 若函数 及其偏导数 都在矩形域 上连续, 则函数 在 上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数 及其偏导数 都在矩形域 上连续,函数 和 定义在 , 值域在 上 , 且可微 , 则 含参积分 在 上可微 , 且 . ( 证 )P174 例 1 计算积分 . P176. 例 2 设函数 在点 的某邻域内连续 . 验证当 充 分小时 , 函数 的 阶导数存在 , 且 . P177. § 2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
《数学分析》教素1．含参无穷积分：函数f(x,)定义在【α,b]×[c，+）上（【a,b]可以是无穷区间）。以I()=[（(x,)dy为例介绍含参无穷积分表示的函数1(x).2.含参无穷积分的一致收敛性：逐点收敛（或称点态收敛）的定义：xE【a，b]使Vs>0,3M>c,引出一致收敛问题定义（一致收敛性）设函数f(x,y)定义在【a,b]×[c,+）上：若对Vg>0,3M>e，使(x,)a<e对Vxe[a,b]成立，则称含参无穷积分【f(x,)ay在【a,b]（关于x）一致收敛Th19.5（Cauchy收敛准则）积分I(x)=（f(x,)dy在【a,b]上一致收敛，台V>0,3M>0,VA,A>M,=(x,y)a<g对 Vxe[a,b]成立sin xydy在【8,+）上一致收敛，例 1 证明含参量非正常积分y其中>0.但在区间（0,+）内非一致收敛，P1803.含参无穷积分与函数项级数的关系：- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - 1. 含参无穷积分: 函数 定义在 上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参无穷积 分表示的函数 . 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义 (一致收敛性 ) 设函数 定义在 上 . 若对 , 使 对 成立, 则称含参无穷积 分 在 ( 关于 )一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分 在 上一 致收敛, 对 成立 . 例 1 证明含参量非正常积分 在 上一致收敛 , 其中 . 但在区间 内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
《数学分析》教素Th19.6积分l(x)=[(x,y)dy在【αa,b]上一致收敛，台对任一数"(x)-()在列（A)（A=c)，A+，函数项级数1[α,b]上一致收敛.（证略）二，含参无穷积分一致收敛判别法：1．WeierstrassM判别法：设有函数g(y)，使在【a,b]x[c,+）上有1(x,)g().若积分g(v)y<+，则积分(f(x,)ay在【a,b]一致收敛."cos双dx在-<<+内一致收敛.例 2 证明含参无穷积分1+ x2P1822.Dirichlet判别法和Abel判别法：P182三含参无穷积分的解析性质：含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1.连续性：积分号下取极限定理Th19.7设函数(x,y)在【a,b]×[c,+）上连续：若积分1(x)=[(x,)dy在【α,b]上一致收敛，则函数I(x)在【a,b]上连续。（化为级数进行证明或直接证明）推论在Th.7的条件下，对VxE[a,b]，有m"(x)y-"(.-"[m (x)]2.可微性：积分号下求导定理。- 4 -
《数学分析》教案 - 4 - Th 19.6 积分 在 上一致收敛, 对任一数 列 , ↗ , 函数项级数 在 上一致收敛. ( 证略 ) 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法: 设有函数 , 使在 上 有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. 例 2 证明含参无穷积分 在 内一致收敛. P182 2. Dirichlet 判别法和 Abel 判别法: P182 三. 含参无穷积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质. 1. 连续性: 积分号下取极限定理. Th 19.7 设函数 在 上连续 . 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上连续. ( 化 为级数进行证明或直接证明 ) 推论 在 Th.7 的条件下 , 对 , 有 2. 可微性: 积分号下求导定理
《数学分析》教素Th19.8设函数f和f,在【a,b]×[c,+）上连续．若积分(x) =(x,)ay在【a,b]上收敛，积分(x,v)y在【a,b]一致收敛则函数I()在【α,]上可微，且I()=.(x,J)3．可积性：积分换序定理。Th19.9设函数f(x,y)在【a,b]×[c,+）上连续．若积分I(x) = (x,y)dy在【a,b]上一致收敛，则函数I(x)在【a,b]上可积，且有(ax1"(x.ay-af(x)ay例3计算积分1- l"e-x sin bx-sim ax dx, (p >0, b >a) P186x四.含参瑕积分简介：$3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数，即「(s)和B(p,g).它们统称为Euler积分．在积分计算等方面，它们是很有用的两个特殊函数Gamma函数「(s)——Euler第二型积分：1.Gamma函数：考虑无穷限含参积分x"-le"dx,(s >0)-5
《数学分析》教案 - 5 - Th 19.8 设函数 和 在 上连续. 若积分 在 上收敛, 积分 在 一致收敛. 则函数 在 上可微,且 . 3. 可积性: 积分换序定理. Th 19.9 设函数 在 上连续. 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上可积 , 且 有 . 例 3 计算积分 P186 四.含参瑕积分简介: § 3 Euler 积分 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和 . 它 们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. 一. Gamma 函数 —— Euler 第二型积分： 1. Gamma 函数: 考虑无穷限含参积分