2n+1 例3级数∑ 1+i 是否收敛? n-=1 1+i2n+1 解∑ 1+(-)i_、1 ∑ H=1 n H=1 因为级数∑发散,∑(-收敛 H=1 故原级数仍发散 定理4.3级数∑收敛的必要条件是Hmn=0, 其中z n=5n +y
例3 1 1 2 1 级数 是否收敛？ = + + n n n i 故原级数仍发散. , 1 1 因 为级 数 发 散 n= n ( ) 收敛, = − 1 1 1 n n n = = 1 1 n n = + − 1 1 ( 1) n n n 解 i = = + + − = + 1 1 2 1 1 1 ( 1) n n n n n i n i 定理4.3级数 收敛的必要条件是 n n n 其中z = x + y
证明因为级数∑=收敛的充分必要条件是 ∑x与∑都收敛,再由实级数收敛的必要条件是 lim x=0,imyn=0得证 n→ 定理4.4若级数收敛,则级数∑z也收敛 若级数∑n收敛,则称Σ绝对收敛.若级数 ∑·收敛,∑发散,则称为条件收敛
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是 都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是 定理4.4若级数 收敛， 则级数 也收敛. n=1 n z + n=1 n z 为条件收敛。 若级数 收敛, 则称 绝对收敛.若级数 收敛, 发散，则称
定理:∑a绝对收敛兮∑a与∑b绝对收敛 H=1
: 1 1 1 n n n n n n a b = = = 定理 绝对收敛 与 绝对收敛
例4判断级数∑ (8iy 是否收敛,若收敛 是绝对收敛?还是条代敛? 解:因为 8)28 n! n 所以由正项级数的比值判别法知: ∑8收敛故原级数收敛且为绝对收敛
是绝对收敛？还是条件收 敛? 是否收敛，若收敛， ! (8i) 判断级数 1 n= n n 例4 , ! 8 1 收敛 n= n n 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 所以由正项级数的比值判别法知: , ! ! ( ) n n n n 8i 8 = 解：因为
例5判断级数∑+,1是否收敛, 若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛 解因为∑收敛;∑1也收敛, n=1 故原级数收敛 但∑(为条件收敛, n=1 所以原级数条件收敛
故原级数收敛. , ( 1) 1 但 为条件收敛 = − n n n 所以原级数条件收敛. . ] ( ) [ 若收敛，是绝对收敛 ， 还是条件收敛 判断级数 是否收敛， = + − 1 2 1 1 n n n i n 例5 ; ( 1) 1 因为 收敛 = − n n n , 2 1 1 也收敛 n= 解 n