东北大学：《中心仿射微分几何》课程教学资源（知识讲稿，共五章，数学系：刘会立）

中心仿射微分几何 刘会立 东北大学数学系

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目感 第一章仿射空间基本结枘与仿射变换 1.1仿射空间 777 1.1.1仿射空间的基本概念 1.1.2体积与定向 1.1.3对偶行列式形式 1.1.4对偶性与外积结构 1.2仿射映射与仿射变换群 88899 1.2.1仿射映射 1.2.2仿射变换群 1.2.3仿射映射的性质 1.2.4仿射不变性与对偶性 1.25方向导数 011 12.6标架 1.3(陷)欧几里德空间 13.1基本揽念 1.3.2标准行列式形式 1.3.3欧几里德结构 1.34等距与正交变换 1.4仿射空间与欧氏空间的微分几何结构 13 1.4.1仿射微分几何结构 14.2等仿射微分几何结构 1.4.3欧氏微分几何结构 1.4.4标准空间Rn 15 第二章仿射空间中越曲面的一般理论 2.1仿射空间中的趋曲面 2.1.1趋曲面的定义 2.1.2向量丛 22截向量场与诱导结构

8 ¹ 1Ù •mÄ(†•C† 7 1.1 •m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 •mÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 NȆ½• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 éó1ª/ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 éó5† È( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 •N†•C†+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 •N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 •C†+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 •N5Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 •ØC5†éó5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5 •ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.6 Ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 £¤îApm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 ÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 IO1ª/ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 îAp( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 å†C† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 •m†î¼m‡©AÛ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 •‡©AÛ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 •‡©AÛ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 ©AÛ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4 IOmRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1Ù •m¥‡­¡„nØ 17 2.1 •m¥‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 ‡­¡½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 •þm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 •þ|†p( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3

2.2.1诱导体积形式 22.2结构方程 223诱导体积形式与联络的相容性:相对法向量场 2.3余法丛,诱导结构,正则性 2.3.1诱导双线性形式 2.3.2诱导体积形式 011 2.3.3正则性 2.3.4诱导双线性形式与体积形式的相容性 23.5正则超曲面的相对法化 2.3.6正则余法向量场的高斯结构方程 23.7余法向量丛中联络与体积形式的相容性 23.8联络与双线性形式的相容性:共轭联络 24诱导结构的仿射不变性 24 24.1命题 242体积形式的不变性 2.5超曲面的结构定理 2.5.1相对法化结构定理 第三章正则超曲面的相对微分几何 1超曲面的相对微分几何结构 31.1相对结构方程 31.2相对结构方程中的系数 3.1.3共轭联络 314相对度量h与三决(Cubi)形式C 31.5相对高斯映射 31.6相对曲率 31.7关于V与V*的可积条件 39 31.8第一美基本定理 41 31.9可积条件的几何解释 31.10基本定理的几何表述一第二类基本存在性定理 3.1.11相对理论的经典表述 3.1.12相对支画数 3.2相对法化的关系 3.2.1对应几何量的比较 3.22第一类相对几何的唯一性 3.23相对几何的存在性问题 324第二类唯一性

2.2.1 pNÈ/ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 (§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 pNÈ/ª†éäƒN5µƒé{•þ| . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 {{m§p(§K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1 pV‚5/ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 pNÈ/ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.3 K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.4 pV‚5/ª†NÈ/ªƒN5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.5 K‡­¡ƒé{z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.6 K{{•þ|pd(§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.7 {{•þm¥éä†NÈ/ªƒN5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.8 éä†V‚5/ªƒN5µ
Ýéä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 p(•ØC5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 ·K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 NÈ/ªØC5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 ‡­¡(½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1 ƒé{z(½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1nÙ K‡­¡ƒé‡©AÛ 29 3.1 ‡­¡ƒé‡©AÛ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 ƒé(§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 ƒé(§¥Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.3
Ýéä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.4 ƒéÝþ h †ng(Cubic)/ª Cb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.5 ƒépdN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.6 ƒé­Ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.7 'u∇†∇∗ ŒÈ^‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.8 1aĽn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.9 ŒÈ^‡AÛ)º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.10 ĽnAÛLã—1aÄ35½n . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.11 ƒénز;Lã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.12 ƒé|¼ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 ƒé{z'X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 éAAÛþ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 1aƒéAۍ5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.3 ƒéAÛ35¯K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.4 1a5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4

3.3几种特殊的相对法化 57 3.3.1欧几里德相对法化 57 332等仿射相对法化 33.3中心仿射相对法化 第四章中心仿射微分几何 41中心仿射越曲面 4.2面积积分的第一变分公式 4.3面积积分的第二变分公式 44三维仿射空间A3中的正定中心仿射曲面 45三维仿射空间A3中的不定中心仿射曲面 46A3中的中心仿射 Tchebychev曲面 74 47单参数中心仿射极小曲面与 Tchebychev曲面族 第五章 Tchebychev超曲面 5.1相对超曲面 5.1.1结构方程 51.2基本概念与基本几何量 51.3可积条件 51.4相对支函数 5.1.5引理 51.6相对 Tchebychev算子的定义 52相对微分几何中 Cubic形式的性质 5.2.1引理 52.2定义 5.23命题 53中心 Tchebychev超曲面 53.1定义 53.2相对高斯映射 53.3相对共形结构 534 Tchebychev曲面的共形结构 88888 535闭 Tchebychev超曲面 54三瘫仿射空间中的相对 Tchebychev曲面 54.1预备知识与主要结论 542A3中的相对 Tchebychev曲面 5.4.3主要定理的证明 55n雍仿射空间中的相对 Tchebychev超曲面

3.3 A«Aσé{z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 îApƒé{z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.2 •ƒé{z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.3 ¥%•ƒé{z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1oÙ ¥%•‡©AÛ 61 4.1 ¥%•‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 ¡ÈÈ©1C©úª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 ¡ÈÈ©1C©úª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 n‘•m A3 ¥½¥%•­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5 n‘•m A3 ¥ؽ¥%•­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.6 A3 ¥¥%• Tchebychev ­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.7 üëê¥%•4­¡† Tchebychev ­¡x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1ÊÙ Tchebychev‡­¡ 79 5.1 ƒé‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.1 (§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.2 ÄVg†ÄAÛþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.3 ŒÈ^‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.4 ƒé|¼ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.1.5 Ún . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.1.6 ƒéTchebychevŽf½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 ƒé‡©AÛ¥Cubic/ª5Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2.1 Ún . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2.2 ½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2.3 ·K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3 ¥%Tchebychev‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.1 ½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.2 ƒépdN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.3 ƒé
/( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3.4 Tchebychev‡­¡
/( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3.5 4Tchebychev‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4 n‘•m¥ƒéTchebychev­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.4.1 ý£†Ì‡(Ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.4.2 A3 ¥ƒéTchebychev­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4.3 ̇½ny² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.5 n‘•m¥ƒéTchebychev‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5

55.1相对 Tchebychev超曲面 5.5.2三次形式( Cubic form)的偏微分方程 55.3 Tchebychev超曲面的局部理论 5.54紧超曲面 参考文献 索引

5.5.1 ƒéTchebychev‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.5.2 ng/ª(Cubic form) ‡©§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5.3 Tchebychev‡­¡ÛÜnØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.5.4 ;‡­¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ë©z 106 ¢Ú 109 6