§4.2复变函数项级数 (Series of function of complex variable) 复变函数项级数 二、界级数
§4.2 复变函数项级数 一、复变函数项级数 二、幂级数 (Series of function of complex variable)
复变函数项级数 设复变函数项级数 f(x)+f(z)+(x)+…+f(z)+….(4.2) 的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函 数f(z),对于D内的每一点z,级数(42)均收敛于 f(z,则称几)为级数(42)的和函数,记为: f(x)=∑f()
设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2) 的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函 数f(z),对于D内的每一点z, 级数（4.2）均收敛于 f(z), 则称f(z)为级数(4.2)的和函数, 记为: 一、复变函数项级数 ( ) ( ) = = n 1 n f z f z
界级数 形如 ∑cn(z +c1(z-a)+c2(-a)2+…(4.3) 的复函数项级数称为幂级数,其中a2co,C1 C2,…,都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式 Cnz=C+C+C27+…+Cn
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1, c2 ,…, 都是复常数. 二、 幂级数 形如： 以上幂级数还可以写成如下形式 = + + ++ + = n n n n n c z c c z c z c z 2 0 1 2 0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z、(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z,al|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1 (≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1 -a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛. a 1 z •
证明设z是所述圆内任意点因为 ∑cn(z-a) 收敛,它的各项必然有界,即有正数店使 cn(z1-a)”≤M(n=0,1,2,…), Ic, (Z-a"cu ( -)()"<M- 因为z+k故级数∑M-4 收敛 →∑c(z-)”在圆K内绝对收敛
收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使 (n=0,1,2,…), 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | | n n n n n n z a z a c z a c z a M z a z a − − − = − − − 因为|z-a|<|z1-a|, 故级数 收敛 证明 设z是所述圆内任意点.因为 ( 1 ) 0 n n n c z a = − 0 ( )n n n c z a = − 在圆K内绝对收敛