(α,β)≤ αl 柯西-施瓦茨不等式当且仅当α与β线性相关时等号成立。(α,β)定义3当α→ 0,|β± 0时,θ = arccos Ilal// ll称为n维向量α与β的夹角，记为(α，β)加油！
, 0, 0 , arccos n 定义3 当 时 称为 维向量 与 的夹角，记为 ， 柯西-施瓦茨不等式： , , 当 且 仅 当 与 线 性 相 关 时 等 号 成 立
三、n维向量的正交性当(α,β)=0时，称向量α与β正交.定义5一组两两正交的非零向量称为正交向量组，[2]0例：α,=0,α,01定理正交向量组是线性无关向量组反之不成立，即线性无关向量组不一定正交加油！
定义5 一组两两正交的非零向量称为正交向量组． 三、n维向量的正交性 当 , 0 时，称向量 与 正交. 1 2 3 2 0 1 0 , 1 , 0 1 0 2 例： 定理 正交向量组是线性无关向量组. 反之不成立，即线性无关向量组不一定正交
定理正交向量组是线性无关向量组证明设有α,αz,,αm是正交向量组,k,α, +k,α, +...+kmαm=0用a,与等式两边做内积,得k,(α,α,)=0 i=1,2,..,m由α;≠0,有(α,α,)>0,从而得k, =0 i=1,2,...,m.故α,αz,,αm线性无关加油！
由 i i i 0, , 0, 有 从而得 0 1, 2, , . i k i m 1 2 , , , . 故 m 线性无关 k i m i i i , 0 1,2, , 定理 正交向量组是线性无关向量组. 证明 1 1 2 2 0 m m k k k , i 用a 与等式两边做内积 得 1 2 , , , 设有 m 是正交向量组
例 已知α,=求非零向量α3,-2=11,α,1I使α,αz,α,构成正交向量组加油！
1 2 3 1 2 3 1 1 , , 1 2 1 1 , , . 例 已知 求非零向量 使 构成正交向量组