于是可得sinO=0或cosO=38 210 显然,日=0与题设不符,可舍去不计。 §14-3刚体惯性力系的简化 应用质点系动静法时,需要在每个质点上虚加惯性力,组成惯性力系。如果质点 的数目有限,逐点加惯性力是可行的。对于刚体,它可看作无穷多个质点的集合,不 可能逐个质点去加惯性力。于是,我们利用静力学中力系简化的方法先将刚体惯性力 系加以简化,用简化的结果来等效地代替原来的惯性力系,解题时就方便多了 下面分别对刚体作平动,绕定轴转动和平面运动时的惯性力系进行简化。 刚体作平动 刚体平动时,各点具有相同的加速度a1=ac,因而其惯性力系是一同向平行力系, 与重力系类似。这个力系简化为过质心的合力F=-∑ FI=-Mac (14-8) 于是得结论:平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质 量与质心加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。 2.刚体的定轴转动 在此仅研究刚体具有质量对称面且转轴垂直于此对称面的情况。当刚体转动时 平行于转轴的任一直线作平 动,此直线上的惯性力系可 合成为过对称点的一个合 力。因而,刚体的惯性力系 可先简化为该质量对称面内 的一个平面惯性力系。我们 再将此平面惯性力系向转轴 (b) (z轴)与对称面的交点O 图 简化,惯性力系的主矢仍为F=-Mac,具体解题时,也可将F分解为F和F, IR =-Macn, FIR=-Mac (149) 惯性力F;也可以分解为相应的两个分量F和F,如图147(a)所示,其大小分
6 或 cos 1 0 3 2 sin 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ ω θ − g l 于是可得 sinθ = 0 或 2 2 3 cos ω θ l g = 显然，θ = 0 与题设不符，可舍去不计。 §14-3 刚体惯性力系的简化 应用质点系动静法时，需要在每个质点上虚加惯性力，组成惯性力系。如果质点 的数目有限，逐点加惯性力是可行的。对于刚体，它可看作无穷多个质点的集合，不 可能逐个质点去加惯性力。于是，我们利用静力学中力系简化的方法先将刚体惯性力 系加以简化，用简化的结果来等效地代替原来的惯性力系，解题时就方便多了。 下面分别对刚体作平动，绕定轴转动和平面运动时的惯性力系进行简化。 1．刚体作平动 刚体平动时，各点具有相同的加速度 ai = aC ，因而其惯性力系是一同向平行力系， 与重力系类似。这个力系简化为过质心的合力 IR = −∑mi C = − C∑mi F a a ，即 FIR = −MaC （14-8） 于是得结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质 量与质心加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。 2．刚体的定轴转动 在此仅研究刚体具有质量对称面且转轴垂直于此对称面的情况。当刚体转动时， 平行于转轴的任一直线作平 动，此直线上的惯性力系可 合成为过对称点的一个合 力。因而，刚体的惯性力系 可先简化为该质量对称面内 的一个平面惯性力系。我们 再将此平面惯性力系向转轴 （z 轴）与对称面的交点 O 简化，惯性力系的主矢仍为 FIR = −MaC ，具体解题时，也可将 FIR 分解为 τ FIR 和 n FIR ， 则 τ τ Cn IR C n FIR = −Ma , F = −Ma （14-9） 惯性力 FI i 也可以分解为相应的两个分量 τ FI i 和 n FI i ，如图 14-7(a)所示，其大小分 MIO α ω aC τ aC C O FIR aC n 图 14-7 （a） Fiτ α ω ai τ Mi C Fin O ai n FI i （b）
别为F=m1r,a,F=m11O2方向如图示。于是 惯性力系对点O的主矩 M=∑M(F)=∑M0(F)+∑M0(F") ∑(m,a)=-C∑m,r2)a (14-10) 式中,J是刚体对转轴的转动惯量,负号表示主矩Mo与a的转向相反。可见 具有质量对称面垂直轴转的定轴转动刚体,惯性力系向转轴简化为一个力和一个力偶 该力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度方向相反,作用 线通过转轴;该力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度之积,转向与角加速度 转向相反。如图14-7(b)所示。 在工程实际中,经常遇到几种特殊情况: (1)转轴通过刚体质心。此时ac=0,可知FR=0。则刚体的惯性力系简化为 惯性力偶,其矩M|=Jla,转向与a转向相反。 (2)刚体匀速转动,此时a=0,可知Mo=0,则刚体的惯性力系简化为作用在 点O的一个惯性力Fn,且Fn=M2,指向与an相反。 (3)转轴过质心且刚体作匀速转动,此时FBR=0,Mo=0,刚体的惯性力系为 平衡力系 3.刚体作平面运动 工程中,作平面运动的刚体常有对称平面,且平行于此平面而运动。这种刚体的 惯性力系可先简化为在对称面的平面力系 对称面内的平面图形,如图148所示,由运动学知,平 面图形的运动可分解为随基点的平动与绕基点的转动。取质M 心C为基点,设质心的加速度aC,转动的角加速度为a, 简化到对称面的惯性力系分为两部分:刚体随质心平动的惯 性力系简化为一个通过质心的力;刚体绕质心转动的惯性力 图14-8 系简化为一个力偶。该力为 (14-11) 力偶矩为 Mc=-J。a (14-12) 于是得结论:有对称平面的刚体,平行于这平面运动时,刚体的惯性力系可简化
7 别为 α τ I i i i F = m r ， 2 i i ω n I i F = m r 方向如图示。于是， 惯性力系对点 O 的主矩 ( ) ( ) ( ) ( ) α ( )α τ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = − = − = = + 2 i i i i i n I O O I i O I i O I i m r r m r M M F M F M F 即： M IO = −J zα （14-10） 式中，Jz 是刚体对转轴的转动惯量，负号表示主矩 MI O 与 α 的转向相反。可见， 具有质量对称面垂直轴转的定轴转动刚体，惯性力系向转轴简化为一个力和一个力偶， 该力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用 线通过转轴；该力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度之积，转向与角加速度 转向相反。如图 14-7(b)所示。 在工程实际中，经常遇到几种特殊情况： （1）转轴通过刚体质心。此时 aC = 0，可知 FIR = 0。则刚体的惯性力系简化为一 惯性力偶，其矩 M IC = J z α ，转向与α 转向相反。 （2）刚体匀速转动，此时α = 0，可知 MIO = 0，则刚体的惯性力系简化为作用在 点 O 的一个惯性力 FI n，且 2 FI n = MrCω ，指向与 aCn 相反。 （3）转轴过质心且刚体作匀速转动，此时 FIR = 0，MIO = 0，刚体的惯性力系为 平衡力系。 3．刚体作平面运动 工程中，作平面运动的刚体常有对称平面，且平行于此平面而运动。这种刚体的 惯性力系可先简化为在对称面的平面力系。 对称面内的平面图形，如图 14-8 所示，由运动学知，平 面图形的运动可分解为随基点的平动与绕基点的转动。取质 心 C 为基点，设质心的加速度 aC ，转动的角加速度为α ， 简化到对称面的惯性力系分为两部分：刚体随质心平动的惯 性力系简化为一个通过质心的力；刚体绕质心转动的惯性力 系简化为一个力偶。该力为 FI = − M aC （14-11） 力偶矩为 MI C = − JC α （14-12） 于是得结论：有对称平面的刚体，平行于这平面运动时，刚体的惯性力系可简化 MIC α aC C FI 图 14-8