i a=a,+,+, k, b=bi+b,j+b,k b=(a i+a,j y +a2k)·(bi+b,j+b2k) jLk,∴i·j=j…k=k·i=0, i|j=k=1, i·i=jj=k·k=1 i·b=a.b.+a.b.+a.b x y J 数量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |= 1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式
.b=lb|c0sb→c0s0=4:b a、b.+a.b.+a.b cos 6 2 2 b+tb 2 +a.+a 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 db∈→a1bx+a,b,+a2b2=0
a b | a || b | cos = , | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为
例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,},求(1 a·b;(2)a与的夹角;(3)a上的投影 解(1)ab=11+1.(-2)+(4).2=-9 (2)c0s6= a,b +a,b,+a, b a2+an2+a2、b2+b2+b2 3 6= 2 i·b (3)a·b=b|Prjd Jba 3 b
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求（1） a b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影. 解 a b (1) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ba (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ba = . 4 3
例2证明向量c与向量(a·Cb-(b·c)a垂直 证(a·c)b-(b·c)d =[(a·c)b:c-(b·c)l·dl =(b)·c-a·q 0 I(a·c)b-(b·cd|Le
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) − ( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) − ( ) ]⊥
例3应用向量证明 Cauchy--Schwarz不等式 a+a2b2+a3b3a2+a2+a2·++b 证记a={a1,a2,a3}b={1,b2,b3} 则|a=√a2+n2+n2|b}=√研2+b+b d·b=a1b1+a2b2+a3b3 →|ab同=a|·b|·|cos(a,b) ≤a||b|=√a2+a2+a +b2+b →|a1b1+a2+ah2a2+a2+n2所2+b2+b
例3 应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 | a b + a b + a b | a + a + a b + b + b 证 记 a = a1 ,a2 ,a3 b = b1 ,b2 ,b3 则 2 3 2 2 2 1 | a |= a + a + a 2 3 2 2 2 1 | b |= b + b + b a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 | a b | | a | | b | | cos(a,b)| = | a | | b | 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 = a + a + a b + b + b 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 | a b + a b + a b | a + a + a b + b + b