4、改进的光拉公式 梯形公式虽然提高了精度,但使算法复 杂。而在实际计算中只迭代一次,这样 建立的预测校正系统称作改进的尤拉 公式
4、改进的尤拉公式 梯形公式虽然提高了精度，但使算法复 杂。而在实际计算中只迭代一次，这样 建立的预测—校正系统称作改进的尤拉 公式
预测yn1=yn+b(xn,yn) 校正yn1=yn+[f(xn,yn)+f(xn1,yn1), y=y+hf(n, yn) Dc=Dn+hf(n+1,yp); n+1=(n+y)/2
1 1 1 1 ( , ); [ ( , ) ( , )], 2 n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y + + + + = + = + + 预测 校正 1 1 ( , ); ( , ); ( ) / 2. p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y + + = + = + = +
二、 Euler方法的误差分析 1)局部截断误差 在一步中产生的误差而非累积误差: T n+1=y(xn+1)-yn+1 其中n是当νn=y(xn)(精确解!)时 由 euler法求出的值,即yn无误差!
二、Euler方法的误差分析 1 1 1 ( ) 1 1) ( ) n n n n n n n T y x y y y y x Euler y + + + + = − = 局部截断误差 在一步中产生的误差而非累积误差： 其中 是当 （精确解！）时 由 法求出的值，即 无误差！
将y(xn+1)在xn点 Taylor展开 y(rn+1)=y(rn+h)=y(r,)+hf(rn,y(rn)+ .<<x n+1 n+/S 'n+hf(rn,,,) n+=(x)+hf( n, y(*, ) + y n+1 n+1 (5)x2<5
( ) ( ) 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ( )) 2 n n n n n n n n n y x x Taylor y x y x h y x hf x y x h y x x + + = + = + + + ＋ 将 在 点 展开： ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 , ( ) , 2 n n n n n n n n n n n n n y y hf x y y y x hf x y x h T y x y y x x + + + + + + = + = + 则 = − =
M2=maxy"(x),y(x)充分光滑,则 asks Tml≤M22 olh nl-ymu1l=y(,)+hf( n y(=m)-yn-hf(r,, um ≤v(x)-y+b(xn(x,)-f(x,y (由LpE条件)≤(+MC)y(x)-=(1+h)
( ) 2 2 2 1 2 max ( ) , ( ) 2 a x b n M y x y x h T M O h + = = 令 充分光滑，则： ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , , 1 (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n y y y x hf x y x y hf x y y x y h f x y x f x y Lipschitz hL y x y hL e + + − = + − − − + − 由 条件 + − = +