《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第九章 常微分方程数值解法

ln|s7m|+(1+hL)ln对一切n成立, 对取定N,由t=y(x)-y=0,则: ls|+(1+MD)|ex1|≤ ≤7|+(1+L)x1+(1+ML)72 +…+(1+b)|7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 1 1 N 0 1 1 1 1 n n n N N N N N N N e T hL e n e y x y e T hL e T hL T hL T hL T + + − − − −   + + = − =  + +   + + + + + + + 对一切 成立, 对取定 ，由 ， 则：

2)总体方法误差 递推方法:从任意两相邻步的总体误差关系 推出总体误差与步长的关系。 由微分方程解的存在唯一性自然假定f(x,y 充分光滑,或满足 Lipschitz条件: f(r,y(n))f(r, yn sLly()=y

2） 总体方法误差 ( ( )) ( ) ( ) , , , n n n n n n f x y Lipschitz f x y x f x y L y x y −  − 递推方法：从任意两相邻步的总体误差关系 推出总体误差与步长的关系。 由微分方程解的存在唯一性自然假定 （ ， ） 充分光滑，或满足 条件：

第n步的总体截断误差记为an=y(x)-y 则对n+1步: nd=ym)-ym)-5+1:-ym n+ n+ n+1 以下估计1n1-Jnl,其中 i=y(x)+((x)

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e y x y n e y x y y x y y y T y y y y y y x h f x + + + + + + + + + + + + + = − + = −  − + − = + − − = + 第 步 的 总 体 截 断 误 差 记 为 则 对 步： 以 下 估 计 其 中 ( , y x( n ))

由局部截断误差N|=O(h2),则 l|≤7x|+(1+b)71+(1+hL)72 +…+(1+hL N-1 (1+h)xk=O(h)2(1+hL) k=0 (1+hL)-1 1+hL-1 O(h2)=O(b)

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 1 1 N N N N N N T O h e T hL T hL T hL T − − − =  + + + + + + + 由局部截断误差 ，则 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 1 1 N N N K k k k k hL hL T O h − − − = = = =   + + ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 N hL O h O h hL + − = = + −

lim(1+hL)=lim(1+hl) h =e(xxx与步长h无关常数

( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim 1 lim 1 N N x x N h h h L hL hL x x e h − → → −   + = +   =   与步长 无关常数