附注教学过程(3）分配律：AN(BUC)=(ANB)U(ANC)；AU(BNC)=(AUB)N(AUC)（4）对偶律：AUB=ANB：ANB=AUB.也称德摩根律上述运算律可推广到有限个或可数个事件的情形.（5）差积转换率：A-B=A-AB=AB例2一人向指定的篮筐投篮三次，观察投篮投中的情况.用A、B、C分别表示事件“第i次投篮投中”（i=1,2,3），用A、B、C表示下列事件(I）“第一、二次都投中，第三次未投中”可以表示成ABC；(2）“三次都未投中”可以表示成ABC；(3）“至少有一次投中”可以表示成AUBUC；（4）“至多一次投中”可以表示成ABCUABCUABCUABC：(5）“恰好有两次投中”可以表示成ABCUABCUABC；(6）“至多两次投中”可以表示成ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC或ABC;(7）“至少有两次投中”可以表示成ABCU ABCUABCUABC 或ABUBCUAC:(8)“第一、二次至少有一次投中，第三次未投中”可以表示成（AUB)NC小结：本节学习了三个基本概念，四种关系，四种运算，五种算律。思考题：对随机现象进行研究，我们就可以预料其结果了，是么？答：不是的！掌握随机现象并不意味着改变了“结果的随机性”。课后作业：超星学习平台在线作业；P27习题一：1，2，56
- 6 - 教学过程 附注 （3）分配律： A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ； A B C A B A C ( ) ( ) ( ) = ． （4）对偶律： A B A B = ； A B A B = ．也称德摩根律． 上述运算律可推广到有限个或可数个事件的情形． （5）差积转换率： A B A AB AB 例 2 一人向指定的篮筐投篮三次，观察投篮投中的情况．用 A 、B 、C 分 别表示事件“第 i 次投篮投中”（ i =1,2,3 ），用 A 、 B 、C 表示下列事件: (1)“第一、二次都投中，第三次未投中”可以表示成 ABC ； (2)“三次都未投中”可以表示成 ABC ； (3)“至少有一次投中”可以表示成 A B C ； (4)“至多一次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ABC ； (5)“恰好有两次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ； (6)“至多两次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 或 ABC ； (7)“至少有两次投中”可以表示成 ABC ABC ABC ABC 或 AB BC AC ； (8)“第一、二次至少有一次投中，第三次未投中”可以表示成 ( ) A B C ． 小 结: 本节学习了三个基本概念，四种关系，四种运算，五种算律。 思考题： 对随机现象进行研究，我们就可以预料其结果了，是么？ 答：不是的！ 掌握随机现象并不意味着改变了“结果的随机性”。 课后作业：超星学习平台在线作业；P27 习题一 ：1，2，5
第二讲1.2随机事件的概率本节一、概率的统计定义内容二、概率的公理化定义提要三、概率的性质教学目的理解概率的概念，掌握概率的性质，概率的加法公式，减法公式，求逆公式要求重点概率的性质，三个公式难点概率的性质及其推导与运用学时2学时与主要统计定义15分钟内容公理化定义15分钟时间概率的性质50分钟分配小结及练习10分钟教学方法问题探究式、启发式和分组合作式相结合的教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教和手学手段，基于超星学习平台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验使用生动形象的比喻，把概念通俗化。总结-7-
- 7 - 第二讲 1.2 随机事件的概率 本节 内容 提要 一、概率的统计定义 二、概率的公理化定义 三、概率的性质 教学 目的 要求 理解概率的概念，掌握概率的性质，概率的加法公式，减法公式，求逆公式 重点 概率的性质，三个公式 难点 概率的性质及其推导与运用 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 统计定义 15 分钟 公理化定义 15 分钟 概率的性质 50 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 问题探究式、启发式和分组合作式相结合的教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教 学手段，基于超星学习平台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结 使用生动形象的比喻，把概念通俗化
附注教学过程引入：要掌握一个随机现象，就是要把握两件事：一是都有哪些结果（事件），即建立样本空间二是各种事件出现可能性的大小一一概率，这节课我们就来学习随机事件的概率。一、概率的统计定义定义1设A为随机试验E的任一事件，相同条件下重复试验n次，用n表示事件A在n次试验中出现的次数（称为频数)，称比值f.（A)="4为事件An在n次试验中出现的频率，容易验证，频率具有以下三条基本性质：(1）规范性：J(2)=1;（2）非负性：对任意事件A，有f，（A)≥0（3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件A，A，,A.，…，有J.(UA)=ZJ.(A),aa（4）稳定性：随着试验次数的增加，频率趋于稳定值limf,(A)=p这个稳定值称为事件发生的概率。定义2设E是随机试验，当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率f,(A)趋向于某数p，则称数p为事件A发生的概率，记为P(A)=p.P(A)~f,(A)，频率是概率的近似。概率的统计定义在一定程度上说明概率具有客观性，但这个定义仍有其局限性因为我们无法将一个试验无限次地重复，根本得不到确切的频率稳定值p，从而也就不能严格确定出任何一个事件的概率.二、概率的公理化定义1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（A.HKo几MoropoB）提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，即概率的公理化定义，标志着概率论这门学科作为一个独立的数学分支地位的确立，概率是随机定义3设E是随机试验，Q是样本空间，对E的每一个随机事件A，定事件的本质属性，-8-
- 8 - 教学过程 附 注 引入： 要掌握一个随机现象，就是要把握两件事：一是都有哪些结果（事件）， 即建立样本空间；二是各种事件出现可能性的大小——概率，这节课我们就来 学习随机事件的概率。 一、概率的统计定义 定义 1 设 A 为随机试验 E 的任一事件，相同条件下重复试验 n 次，用 A n 表 示事件 A 在 n 次试验中出现的次数（称为频数），称比值 ( ) A n n f A n = 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率． 容易验证，频率具有以下三条基本性质： （1）规范性： ( ) 1 n f = ； （2）非负性：对任意事件 A ，有 ( ) 0 n f A ； （3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) n i n i i i f A f A = = = ． （4）稳定性：随着试验次数的增加，频率趋于稳定值 lim ( ) n n f A p 这个稳定值称为事件发生的概率。 定义 2 设 E 是随机试验，当试验的次数 n 充分大时，事件 A 发生的频率 ( ) n f A 趋向于某数 p ，则称数 p 为事件 A 发生的概率，记为 P(A) = p ． ( ) ( ) P A f A n ，频率是概率的近似。 概率的统计定义在一定程度上说明概率具有客观性，但这个定义仍有其局 限性．因为我们无法将一个试验无限次地重复，根本得不到确切的频率稳定值 p ，从而也就不能严格确定出任何一个事件的概率． 二、概率的公理化定义 1933 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A．H Колмогоров)提出了概率论 的公理化结构，给出了概率的严格定义，即概率的公理化定义，标志着概率论 这门学科作为一个独立的数学分支地位的确立． 定义 3 设 E 是随机试验， 是样本空间，对 E 的每一个随机事件 A ，定 概率是随 机 事件的本质属性
教学过程附注客观存在。好比一义一个实值函数P(A)，若P(A)满足下列条件：个木棒的长度。(1)规范性：P(Q2)=1;额率是概率(2）非负性：P(A)≥0：的近似和测量。好比木棒长度的测（3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件A,A，A，..，有量值P(U4)=ZP(A),i=l=则称P(A)为事件A的概率三、概率的性质（1）不可能事件的概率：P(Φ)=0（2）有限可加性：若事件AA，A两两互不相容，则P(UJA)=)P(A)is=（3）减法公式：对任意两个事件A，B，有P(A-B)= P(A)-P(AB)特别地，若事件BCA，则P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)（4）加法公式：对任意两个事件A，B，有P(AU B) = P(A) + P(B)- P(AB) 特别地，若AB=Φ，则P(AUB)=P(A)+P(B)推广到三个事件，有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)-P(BC)-P(AC)+ P(ABC)概率的加法公式还可以推广到多于3个事件的情形（5)对立事件的概率：对任意事件A，有P(A)≤1，且P(A)=I-P(A)证明（1）由Q=2+Φ+Φ+及可列可加性，可得，P(2) = P(2)+ P(Φ)+ P(Φ) +.,-9-
- 9 - 教学过程 附 注 义一个实值函数 P A( ) ，若 P A( ) 满足下列条件： （1）规范性： P( ) 1 = ； （2）非负性： P A( ) 0 ； （3）可列可加性：对任意可数个两两互不相容事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P A P A = = = ， 则称 P A( ) 为事件 A 的概率． 三、概率的性质 （1）不可能事件的概率： P( ) 0 = ． （2）有限可加性：若事件 1 2 , , , A A A n 两两互不相容，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = = ． （3）减法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ． 特别地，若事件 B A ，则 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ，且 P B P A ( ) ( ) ． （4）加法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) ． 特别地，若 AB = ，则 P(A B) = P(A) + P(B) ． 推广到三个事件，有 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + ． 概率的加法公式还可以推广到多于 3 个事件的情形． （5）对立事件的概率：对任意事件 A ，有 P A( ) 1 ，且 P(A) = 1− P(A) ． 证明 （1）由 = + + + 及可列可加性，可得， P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) , = + + + 客观存在。好比一 个木棒的长度。 频 率是概率 的近似和测量。好 比木棒长度的测 量值
教学过程附注所以P(Φ)= 0.（2）设A+=,A+2=Φ，且A,A，A，A*两两互不相容，则由概率的可列可加性，有A= (4)+ (4)+ (4.) ()+ (0)- Z P(4)i=l(3)因为A=(A-B)UAB，又(A-B)与AB互不相容，由有限可加性，可得P(A)= P(A-B)+ P(AB),即P(A- B)= P(A)- P(AB) .当BCA时，有AB=B，所以P(A-B)=P(A)-P(B),又由概率的非负性可知P(A-B)≥0，所以P(B)≤P(A)（4）因为AUB=AU(B-AB)，A与(B-AB)互不相容，ABCB，所以P(AU B)= P[AU(B- AB))= P(A)+ P(B- AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)（5）因为AUA=Q,ANA=Φ,由规范性与有限可加性，可得P(A)+ P(A)= P(2)=1,从而，有P(A) =1- P(A) .例 1设事件 A,B互不相容，且 P(A)=,P(B)=q，求 p(AB),P(AUB),-10 -
- 10 - 教学过程 附 注 所以 P( ) 0 = ． （2）设 1 2 , , A A n n + + = = ，且 1 2 1 , , , A A A A n n+ 两两互不相容，则 由概率的可列可加性，有 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i n n i i P A P A P A P A P A P P P A = = = = = + + + + + + = ． （3）因为 A A B AB = − ( ) ，又 ( ) A B− 与 AB 互不相容，由有限可加性， 可得 P A P A B P AB ( ) ( ) ( ) = − + ， 即 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ． 当 B A 时，有 AB B = ，所以 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ． 又由概率的非负性可知 P A B ( ) 0 − ，所以 P B P A ( ) ( ) ． （4）因为 A B A B AB = − ( ), A 与 ( ) B AB − 互不相容， AB B ，所 以 P A B P A B AB P A P B AB P A P B P AB ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = − = + − = + − （5）因为 A A A A = = , , 由规范性与有限可加性，可得 P A P A P ( ) ( ) ( ) 1 + = = ， 从而，有 P(A) = 1− P(A) ． 例 1 设事件 A B, 互不相容，且 P A p P B q ( ) , ( ) = = ，求 p AB ( ) ， P A B ( )