由上述定义可知,只有当无穷级数收敛时,无穷多个实数的加法 才是有意义的,并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以, 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事 例9.1.1设qk1,则几何级数(即等比级数) n-1=1+q+q q 是收敛的。它的部分和数列的通项为 ∑ k=1 q 显然, lim s n 1-g
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法 才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以， 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。 例 9.1.1 设| q | 1，则几何级数（即等比级数） = − 1 1 n n q =1+ q + q 2 ++ q n + 是收敛的。它的部分和数列的通项为 n S = q q q n n k k − − = = − 1 1 1 1 ， 显然， lim n→ n S = 1− q 1
现在来回答本章开头提出的 Achilles追赶乌龟的问题 设乌龟的速度v(米/秒)与 Achilles的速度v2(米/秒)之比为 q=,0<q<1。 Achilles在乌龟后面S1(米)处开始追赶乌龟。当 Achilles 跑完S(米)时,乌龟已向前爬了S2=qS1(米);当 Achilles继续跑 完S2(米)时,乌龟又向前爬了S3=qS1(米);…当 Achilles继续跑 完Sn(米)时,乌龟又向前爬了Sn1=qS1(米);…显然 achilles 要追赶上乌龟,必须跑完上述无限段路程S1,S2…,Sn…,由于 S1+S,+…+S S(1+q+q2+…+qn1+… q 所以当 Achilles跑完路程S=3米(即经过了时间T 秒) (1-q) 他已经追上了乌龟
现在来回答本章开头提出的 Achilles 追赶乌龟的问题。 设乌龟的速度 1 v (米／秒)与 Achilles 的速度 2 v （米／秒）之比为 q= 2 1 v v , 0<q<1。Achilles 在乌龟后面 1 S（米）处开始追赶乌龟。当 Achilles 跑完S1（米）时，乌龟已向前爬了S2 = qS1（米）；当 Achilles 继续跑 完 2 S （米）时，乌龟又向前爬了 1 2 S3 = q S （米）； ,当 Achilles 继续跑 完 n S （米）时，乌龟又向前爬了S 1 q S1 n n+ = （米）； . 显然 Achilles 要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程 , , , , , S1 S2 Sn 由于 S1 + S2 ++ Sn + = (1 ) 2 1 S1 + q + q ++ q n− + = , 1 1 q S − 所以当 Achilles 跑完路程 S = q S 1− 1 米（即经过了时间 T = 2 1 (1 q)v S − 秒）， 他已经追上了乌龟