行列式按行（列)展开 1)余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素a,所在的第行和第 j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a) 的余子式，记作M:记 A=(-1)HMi, A,叫做元素a的代数余子式 区回
１）余子式与代数余子式 . ( 1) , 1 叫做元素 的代数余子式 的余子式，记作 ； 记 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 A a A M M j n a n a i ij ij ij i j ij ij ij ij = − − + ７ 行列式按行（列）展开
2)关于代数余子式的重要性质 「D,当i=j3 2a=Dg-0当+月 或 =w-B学 其中 立当=方 0,当i≠j:
２）关于代数余子式的重要性质 = = = = = = = = = = 0, . 1, ; 0, . , ; 0, . , ; 1 1 i j i j i j D i j a A D i j D i j a A D ij jk ij n k ik k i ij n k k i 当 当 其中 当 当 或 当 当
8 克拉默法则 a111+a12x2+.+a1mXn=b1) 如果线性方程组 a21X1+u22X2+.+M2nxn=b2, anix1+an2x2++amxn=bn. 的系数行列式D≠0，那么它有唯一解 其中D,=1,2,n)是把系数行列式D中第列 换成常数项b1,b2,bn所得到的行列式 页 回
８ 克拉默法则 , . 1,2, , , 1,2, , . 0, . , , 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 换成常数项 ， 所得到的行列式 其 中 （ ）是把系数行列式 中 第 列 的系数行列式 那么它有唯一解 如果线性方程组 b b２ b D j n D j j n D D x D a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n j j j n n nn n n n n n n = = = + + + = + + + = + + + =
克拉默法则的理论价值 定理 如果线性方程组 a11X1+a12x2+.+a1nxn=b1) a21X1+a22x2+.+M2nxn=b2) anx1+an2x2++annxn=bn. 的系数行列式D≠0，那么它一定有解，且解雕一， 定理如果上述线性方程组无解或有两个不同的 解，则它的系数行列必为零
克拉默法则的理论价值 0, . . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 的系数行列式 那么它一定有解，且解唯 一 如果线性方程组 + + + = + + + = + + + = D a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n nn n n n n n n . 解，则它的系数行列式必为零 定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的 定理
定理 如果齐次线性方程组 a11X1+012x2+.+a1mxn=0, 021x1+a22x2+.+a2nxn=0, anix1+an2x2++amxn=0. 的系数行列式D≠0，那么它没有非零解 定理 如果上述齐次线性方程组有非零解，则 它的系数行列式必为零
0, . 0. 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 的系数行列式 那么它没有非零解 如果齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = D a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n nn n n n n n . 它的系数行列式必为零 如果上述齐次线性方程组有非零解，则 定理 定理