3)随机变量函数的数学期望 定理31.1设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X)在,则 (1)若X为离散型PX=x)pn=1,2,,则E(g(X)=∑9(x) (2)若X为连续型随机变量X-(x.则E(9(X∥=[(x)(x 定理31.2设g(XY)为随机变量XY的函数E[g(X,Y)]存在, (1)若(X,Y)为离散型随机向量P(X=x,Y=y)=pij=12 则E/8X,Y=∑∑9(x,y,)P (2)若(X,Y)为连续型随机向量、X,Y)fxy),则 elg(X,)/ ∫∫ g(x, y)f(x, y)dxdy 返回
返回 定理3.1.1 设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P(X=xn )=pn ,n=1,2,...,则 = n n pn E(g(X )) g(x ) (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则 + − E( g( X )) = g( x )f ( x )dx = i j i j pi j E[ g( X ,Y )] g( x , y ) 定理3.1.2 设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在, (1)若(X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi ,Y=yj )=pij ,(i,j=1,2…), 则 (2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则 + − + − E[ g( X ,Y )] = g( x, y )f ( x, y )dxdy (3) 随机变量函数的数学期望
例3.1.6设随机变量x服从[m的均匀分布求 E(sin X),E(X),E(X-EX) 解由题意得x-f(x)={z x∈10、丌 0 其它 据定理3.1.1得 E(sin X)= sin xf(x)dx=l sin xdx E(X2)= x f(x)dx=[x2idx-z2 3 E(X-EX)=B(兀√2=(xx f(dx X 12 返回
返回 例3.1.6 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求 2 2 E(sin X), E(X ), E(X − EX) 解 由题意得 1 2 (sin ) sin ( ) sin 0 = = = + − E X x f x dx x dx = 0 其它 [0, ] 1 ~ ( ) x X f x 据定理3.1.1得 3 1 ( ) ( ) 2 0 2 2 2 = = = + − E X x f x dx x dx + − E X − EX = E X − = x − ) f (x)dx 2 ) ( 2 ( ) ( 2 2 2 12 1 ) 2 ( 2 0 2 = − = x dx
例317设国际市场每年对我国某种商品的需求量 为随机变量X(单位吨,它服从[20004000上的均匀分布,已 知该商品每售出1吨获利3万美元,若销售不出去,每吨将损 失各种费用1万美元问如何组织货源可使收益最大? 解设y为组织的货源数量,Y为收益,则 「3y Y=g(X) X2y其中x~f(x) x∈[2000,4000 2000 BX-( X<y 其它 E(Y)=g(x)f(x)dx (x)dx 2000·2000 1:4000 (4x-y)dx+ 3yx=(-y2+7000y-4×10 2000-200 2000Jy 1000 令(EYy=0得y=350,由实际情况知EY存在最大值 所以组织3500吨货源可使收益最大 返回
返回 例3.1.7 设国际市场每年对我国某种商品的需求量 为随机变量X(单位:吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布,已 知该商品每售出1吨获利3万美元,若销售不出去,每吨将损 失各种费用1万美元,问如何组织货源可使收益最大? 解 设y为组织的货源数量,Y为收益,则 − − = = X y X X y y X y Y g X 3 ( ) 3 ( ) 其中 = 0 其它 [2000,4000] 2000 1 ~ ( ) x X f x = = + − 4000 2000 ( ) 2000 1 E(Y) g(x) f (x)dx g x dx = − + 4000 2000 3 2000 1 (4 ) 2000 1 y y x y dx ydx ( 7000 4 10 ) 1000 1 2 6 = −y + y − 令（EY） = 0得 y = 3500， 由实际情况知EY存在最大值, 所以组织3500吨货源可使收益最大
例31.8设(X,Y)的联合概率分布为 X Y 0 03/83/80求EXEY,E(XY) 1/8 0 1/8 X|13 Y0123 解Ⅹ,Y的边缘分布为 P3/41/4P|183/83/818 所以EX=3/2,EY=3/2,据定理3.1.2有 E(XY)=(1×0)×0+(1×1)×+(1×2)×+(1×3)×0 9 +(3×0)×+(3×1)×0+(3×2)×0+(3×3) 84 返回
返回 例3.1.8 设(X,Y)的联合概率分布为 求EX,EY,E(XY). 解 X,Y的边缘分布为 X 1 3 P 3/4 1/4 Y 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 所以 EX=3/2, EY=3/2, 8 1 (3 1) 0 (3 2) 0 (3 3) 8 1 (3 0) (1 3) 0 8 3 (1 2) 8 3 ( ) (1 0) 0 (1 1) + + + + E XY = + + + 据定理3.1.2有 4 9 = X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3
(3)数学期望的性质 ①F(C=C(C为常数 2 E(aX+b)=aEX+b ③如果(X,Y)是二维随机向量,则E(X±Y=EX±EY ④若(XY)是二维随机向量,且X与Y独立,则E(XY)=EXEY 证明 ④连续型设(X,Y)-f(xy),则 E(XY)=(xy)f(x, y)dxdy 由XY相互独立得B(xY)=∫(xy)/x(x)()h ∫x(x)k·∫y(y)by=E(X)E(Y) 注性质③和④可推广到有限个随机变量情形
返回 ①E(C)=C(C为常数) ② E(aX+b)=aEX+b 证明 ②连续型 设X~f(x),则 ③如果(X,Y)是二维随机向量,则 E(X Y) = EX EY ④若(X,Y)是二维随机向量,且X与Y独立,则E(XY)=EXEY + − E(aX +b) = (ax +b) f (x)dx + − + − = a x f(x)dx +b f (x)dx =aEX+b ③离散型 设(X,Y)联合分布为 P(X=xi ,Y=yj )=pij ,(i,j=1,2…) = i j i j pi j E(X Y) (x y ) = i j j i j i j xi pi j y p = EX EY ④连续型 设(X,Y)~f(x,y),则 + − + − E(XY) = (x y) f (x, y)dxdy 由X,Y相互独立得 + − + − E(XY) = (x y) f X (x) f Y ( y)dxdy + − + − = x fX (x)dx yfY ( y)dy= E(X )E(Y) (3) 数学期望的性质 注 性质③和④可推广到有限个随机变量情形